1.Σ{n=0→∞} x^n / n ! の値はどうなるか(xは複素数)
2.前問でnが偶数のみの時どうなるか
3.同様にnが奇数のみの時どうなるか

以上のような問題なのです

1.はeの定義なので答えもeだと思います。
2.と3.はそれぞれnを2k , 2k+1として解くのではないかと思い、そのようにおいたところsin , cosのようになるのではないかと思ったのですが、和が全て正なのでどうにも求まりませんでした。

2.か3.のどちらかが求まればeとの差で片方も求まりそうなのですが。

解説または回答よろしくお願いします

A 回答 (3件)

2.3.について:


1.の式に x = u と x = -u を代入して、
見比べてみる。
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2、3 については、1 の部分和であることをヒントに項別微分可能とか収束半径とか必要なことをおさえてから微分方程式を解けば、なーんだ、という結果になるよ。

3 の倍数などでも同様だなあ。
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> 1.はeの定義なので答えもeだと思います。



x の存在を忘れておる。
ついでに e の定義も補足にどうぞ。

この回答への補足

1.はe^xでしたね。

定義はe=Σ{n=0→∞} 1 / n ! ではなかったでしょうか。

補足日時:2011/04/18 17:28
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よって、
Σ[n=0,∞] 1/n!! = f(1) = exp(1/2) { 1 + ∫[t=0,x] exp(-t^2/2) dt }。

母関数を考えるとイイですね。
exp(x) = Σ[n=0,∞] (x^n)/n! という関数をよく知っているから、
Σ[n=0,∞] 1/n! = exp(1) = e が分かる。

各 n について (2n)!! = (2^n)(n!) が成り立つので、
Σ[n=0,∞] 1/(2n)!! = Σ[n=0,∞] { (1/2)^n }/n! = exp(1/2) = √e
も同様ですね。

もし、Σ[n=0,∞]1/n!! が収束するならば、
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