対数は自然対数とする。曲線C:y=logx上の点P(u,logu)(u>1)における接線、曲線C、及び直線x=1で囲まれた図形の面積をS1(u)とする。
また点A(1,0)と点Pを結ぶ線分、及び曲線Cで囲まれた図形の面積をS2(u)とする。
S(u)=S1(u)-S2(u)とおくとき、

(1)関数S(u)を求めよ。また、曲線v=S(u)の変極点を求めよ。
(2)関数S(u)はただ一つの極大値をもち、その値は正であることを示せ。


という問題です。解答したのですが答えが出なくなってしまったので、どこで間違っているのか指摘して頂けたらありがたいです。よろしくお願いします。


接線の方程式は、y=1/ux+logu-1

S1(u)=∫(1→u)(1/ux+logu-1-logx)dx
=1/2u-1/(2u)+(1-u)logu

点A(1,0)と点Pを結ぶ線分の方程式は、y=logu/(u-1)x-logu/(u-1)

S2(u)=∫(1→u)(logx-logu/(u-1)x+logu/(u-1)dx
=1/2(u+1)logu-u+1

∴S(u)=3/2u-1/(2u)-1+1/2(1-3u)logu

したがって、S'(u)=1/(2u)-1/(2u^2)-3/2logu
S''(u)=-1/(2u^2)-1/u^3-3/(2u)

S''(u)=0より、-1/(2u^2)-1/u^3-3/(2u)=0
u^3をかけて、1/2u+1+3/2u^2=0
3u^2+u+2=0

となり、解が存在しないことになってしまいました…。

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A 回答 (4件)

(2)求めた変曲点はおそらく1つなので、それをαとする。


S' (u) は連続で、u>αで単調減少だから、α以上の実数u1、u2で、S'(u1)>0>S'(u2)を満たすのを見つければいいんじゃないかな。
そうすればu1とu2の間に実数u*が1つだけあってS'(u*)=0。
そんなu*の存在だけ分かれば、この問題に関しては十分
S(u*)が唯一の極大値だけど、S(u*)が正であることを示すのも簡単。
何でもいいから1以上u*以下の実数u3でS(u3)>0であることを確認すればいいんです。
Sはu*以下で単調増加だから。
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A#2のグラフの図を添付出来なかったので再度添付します。

「面積の問題です。」の回答画像3
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>接線の方程式は、y=1/ux+logu-1


y=(1/u)x+log(u)-1

>S1(u)=∫(1→u)(1/ux+logu-1-logx)dx
>=1/2u-1/(2u)+(1-u)logu  ←間違い
S1(u)=(1/2)u-(1/(2u))-log(u)

>点A(1,0)と点Pを結ぶ線分の方程式は、
>y=logu/(u-1)x-logu/(u-1)
y=(x-1)(log(u)/(u-1))

>S2(u)=∫(1→u)(logx-logu/(u-1)x+logu/(u-1)dx
>=1/2(u+1)logu-u+1
S2(u)=(1/2)(u+1)log(u)-u+1

>∴S(u)=3/2u-1/(2u)-1+1/2(1-3u)logu ←間違い
∴S(u)=(3/2)u-(1/(2u))-1-(1/2)(u+3)log(u)

>したがって、S'(u)=1/(2u)-1/(2u^2)-3/2logu ←間違い
S'(u)=1-(3/(2u))+(1/(2u^2))-(1/2)log(u)

>S''(u)=-1/(2u^2)-1/u^3-3/(2u) ←以下4行共、間違い
>S''(u)=0より、-1/(2u^2)-1/u^3-3/(2u)=0
>u^3をかけて、1/2u+1+3/2u^2=0
>3u^2+u+2=0
計算も間違ってるけど
なぜ「S''(u)=0とするuを求めようとするのか?意味が分からんよ!

S'(u)=0とするuを求めると
(u^2)log(u)-2u^2+3u-1=0
これを満たすuは解析的には解けないのNewton法で数値計算で求めると
u=uo=3.162581587…
1<u<uoでS'(u)>0, uo<uでS'(u)<0
なのでS(u)はu=uoで極大値(最大値)S(uo)=0.03801043928…(>0)をとる。

S(u)のグラフを描くとこの様子が良く分かる。
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↓多分ここ。


S1(u)=∫(1→u)(1/ux+logu-1-logx)dx
=1/2u-1/(2u)+(1-u)logu
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