極限値 問題

lim[x→∞](x^n)(e^-ax)=0を証明しなさい。
どのように解けばよいかわかりません・・・

lim[x→∞](x/e^x)=0の証明のように
0≦lim[x→∞](x/e^x)≦lim[x→∞](2^x/e^x)
と仮定して、挟み撃ちを使おうと考えているのですが、
x^nでうまく出来ません・・・

ご回答よろしくお願い致します。

A 回答 (2件)

y = (ax)のn乗 で置換すれば、


貴方の解法へ持ち込める。
x ≦ 2のx乗 は、仮定するのではなく、
証明する必要があるが。
あるいは、
eのx乗 の方を多項式近似する手もある。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
0≦lim[x→∞](x/e^x)≦lim[x→∞](2^x/e^x)
は、lim[x→∞](2/e)^xが0に収束することを証明
しなければならないという事でしょうか?
-1<x<1は0に収束すると直感的に理解しているのですが・・・

また、y=ax^nで置換するとは、lim[x→∞](x^n/e^ax)を
どのように式変形すればよいのですか?
全く、見えません・・・

e^axを多項近似する方法は、e^axのマクローリン展開する。
今回はとりあえず、2次式までとります。
lim[x→∞](x^n)/(1+ax+(a^2x^2/2))
分子分母に1/x^nを掛けると、
lim[x→∞]1/(1/x^n+a/x^(n-1)+(a^2/(x^n-2)))
よって、
lim[x→∞](x/e^x)=0
こんな感じで良いでしょうか?
1次式での近似でもOKな気がするのですが駄目でしょうか?
やはり正確には、無限級数で表さなければならないでしょうか?



以前質問させて頂きました、
http://okwave.jp/qa/q6660665.html
もご回答頂けるとありがたいです。


以上、よろしくお願い致します。

補足日時:2011/04/19 13:10
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a の条件が書いてないけど、だいたいその方針でいいよ。

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