とある教科書の章末問題です。

control volumeの質量をMとして以下の式を導出せよ。
∂M/∂t + ∬[c.s.]dm・=0
([c.s.]は下付き文字です。control surfaceだと思われます。dm・はmの上に・が付いています。)

第一項が蓄積なので、第二項は流出、流入だと思うのですが…。
第二項の意味がいまいちつかめません。

まず、dm・というのは質量の時間微分という解釈でよいのでしょうか?
そして、それをc.s.、つまり表面で積分するというのはどういうことなのでしょうか?

回答をお待ちしております。

A 回答 (2件)

 体積積分と面積分(表面積分)を、∫dv,∫dsと書きます。

さらに流体(質量)密度をρとして、

  M=∫ρdv  (1)

ですよね?。ここで体積積分の積分領域はV(control volume)とします(省略してますが)。さらに、Vの表面をS,流体の流速ベクトルをuとすると、Vの表面Sからの質量の流出速度は、

  ∫ρu・ds  (2)

になります。ここで、・は内積を表し、dsはSの面素ベクトルです。面素ベクトルは、Sの外法線単位ベクトルに、Sの面素da(aは面積Areaの頭文字で、面素はスカラー)をかけたものです。

 (2)は、Sを横切って流れ出す、Vからの単位時間当たりの質量流出量なので、Mとの関係は、

  ∂/∂t(∫ρdv)+∫ρu・ds=0  (3)

になるはずです。これが、ご質問の式と思います。そうすると、dm・は、

  dm・=ρu・ds

という省略記法でないか?、という気がします。単位は質量の時間微分ですが、質量流出量の時間微分(質量流出速度)という意味です。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

質量流出量の時間微分ですか…。
回答ありがとうございました!

お礼日時:2011/04/24 18:22

連続の方程式を体積積分するだけではないでしょうか?



∂ρ/∂t + ∇・(ρv~) = 0
すなわち,
∫[c.v.]∂ρ/∂t dV + ∫[c.v.] ∇・(ρv~)dV = 0

第1項の体積積分と時間微分は順序交換が可能で,また,第2項にガウスの定理を適用して,

∂/∂t∫[c.v.]ρdV + ∫[c.s]ρv~・dS~ = 0

∴∂M/∂t + ∫[c.s] dm・ = 0

dm・=ρv~・dS~ は,境界面からの流出速度を表していると思います。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

流出速度で良いのですね。
回答ありがとうございました!

お礼日時:2011/04/24 18:22

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング