3A +2B ≧130
4A +5B ≧220

A及びBは以上の式を満たす。

かつ、
12A +10B の値が最大になるAとBの値を求めよ。

たぶんグラフに落として解くのかしら?

お詳しい方、回答願います。

A 回答 (2件)

まずどちらかをX,Yと見立ててときましょう。



A=X B=Yとしておきますね。

3X+2Y≧130 …1

4X+5Y≧220 …2

ですね。Xを右へ移すと、

    2Y≧130-3X → Y≧65-3/2X・・・(1)
    5Y≧220-4X → Y≧44-4/5X・・・(2)

そして、この二つをグラフに表すと、丁度、第2ショウげん
↑側と、やや1ショウゲンを含む領域が、Yの取りうる範囲ですね。

この中から、12A+10Bが最大になるとするとき、
この12A+10Bも同様に、12X+10Yとなりますよね。

まずここで大事なことは、上の2式。1.2の交点を求めます。

なぜなら、(1).(2)はいずれも傾きが-で切片より右下がりです。
ということは、Yの取りうる最小値は、図から明らかなように、
(1)と(2)または1.2の交点におけるY座標だからです。

これを求めると、(X.Y)=(30.20)となり、
Yの最小値は20となりますね。

Yがこれ以上をできるだけ取るようにすれば、12A+10Bも
最大になるということになります。
しかしそうはいっても、何となくあたりをつければ、Yの領域のうち、
Xの係数の方が
Yの係数よりも大きいですから、X<0にいけばいくほどYの
値も大きくなりますが、結局Xの-の絶対値が大きく
なってしまいますので、X>0であることは最低条件
ではないでしょうか。

とすれば、逆に、Xが大きければ大きいほど最大になる。と
いえるのではないでしょうか。
したがって、X・30 Y・20のときが、一番12A+10B
も、大きくなる時だということです。

つまり、12・30+10・20=560で、これこそが最大値
だろうと思います。

Yの最小値の交点で最大値が出てしまうから、Yの最大値は
必要ないってことになっちゃうんですね。

Xが最大の時実は上記の式も最大になるということを
見抜く事がポイントでしょうか。

自分も何やら自信がないですが、一つの考え方として
お受け取りください。
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最大値はない気がします。


不等号逆だったり、最大にする関数が違ってたりしたら、あるかも。
それと、タイトルの二次関数ってのが気になるけど、どうですか。

図形見ながら考えるのは、いい手です。

典型的な(?)筋道はこんな感じ↓。
平面上に不等式を満たす点(A, B)の領域と、関数の等高線を示し、関数の値が増加する方向に等高線を動かす。
領域と等高線がぎりぎり交わる限界まで動かしたら、その交点(共通部分)で最大になる。
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この回答へのお礼

ご指摘どおり、不等号を逆にしたら解けました! 

回答ありがとうございます。

お礼日時:2011/04/18 22:37

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