問1:P={(x,y)|x^2+y^2≦1},Q={(x,y)|x+y≧K}のときP⊂QとなるようなKの値の範囲を求めよ。



問2:条件P:x^2+y^2<2と条件q:x+y<Kがある。条件Pが条件qの十分条件となるための実数Kの値の範囲を求めよ。


よろしくお願いいたします

A 回答 (2件)

2つの問題の考え方は同じ。



Pを座標に描くと、原点を中心とする半径1の円の内部と円周上。
Qは傾きが -1 の直線だから、P⊂Q となるにはどうなればよいか。
円の中心(0、0)と直線との距離がどのようになれば良いか?

原点と直線との距離は、点と直線との距離の公式が、そのまま使える。


問2 も、全く同じ考えで解ける。
以上がわかれば、続きは自分でできるだろう。

x^2+y^2≦1より、x=r*cosθ、y=r*sinθ、0≦r≦1、0≦θ<2π とする方法もあるが、座標の方がわかりやすいだろう。
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問1


P={(x,y)|x^2+y^2≦1}
Q(K)={(x,y)|x+y≧K}
(x,y)∈P
k=x+yとすると
y=k-x
x^2+(k-x)^2≦1
2x^2-2kx+k^2≦1
0≦2(x-(k/2))^2≦{2-(k^2)}/2
0≦2-k^2
k≧-√2
x+y≧-√2
(x,y)∈Q(-√2)={(x,y)|x+y≧-√2}
P⊂Q(-√2)

(-1/√2,-1/√2)∈P={(x,y)|x^2+y^2≦1}
→(-1/√2,-1/√2)∈Q(K)={(x,y)|x+y≧K}
→-1/√2-1/√2=-√2≧K

K≦-√2

問2
P={(x,y)|x^2+y^2<2}
Q(K)={(x,y)|x+y<K}
(x,y)∈P
k=x+yとすると
y=k-x
x^2+(k-x)^2<2
2x^2-2kx+k^2<2
0≦2(x-(k/2))^2<(4-k^2)/2
0<4-k^2
k<2
x+y<2
(x,y)∈Q(2)={(x,y)|x+y<2}
P⊂Q(2)

K<2を仮定すると
x=y=K/2
とすると
x^2+y^2=K^2/2<2
x+y=K
(x,y)∈P-Q(K)→P⊂Q(K)でないから
P⊂Q(K)に矛盾するから


K≧2
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