問1:P={(x,y)|x^2+y^2≦1},Q={(x,y)|x+y≧K}のときP⊂QとなるようなKの値の範囲を求めよ。



問2:条件P:x^2+y^2<2と条件q:x+y<Kがある。条件Pが条件qの十分条件となるための実数Kの値の範囲を求めよ。


よろしくお願いいたします

A 回答 (2件)

2つの問題の考え方は同じ。



Pを座標に描くと、原点を中心とする半径1の円の内部と円周上。
Qは傾きが -1 の直線だから、P⊂Q となるにはどうなればよいか。
円の中心(0、0)と直線との距離がどのようになれば良いか?

原点と直線との距離は、点と直線との距離の公式が、そのまま使える。


問2 も、全く同じ考えで解ける。
以上がわかれば、続きは自分でできるだろう。

x^2+y^2≦1より、x=r*cosθ、y=r*sinθ、0≦r≦1、0≦θ<2π とする方法もあるが、座標の方がわかりやすいだろう。
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問1


P={(x,y)|x^2+y^2≦1}
Q(K)={(x,y)|x+y≧K}
(x,y)∈P
k=x+yとすると
y=k-x
x^2+(k-x)^2≦1
2x^2-2kx+k^2≦1
0≦2(x-(k/2))^2≦{2-(k^2)}/2
0≦2-k^2
k≧-√2
x+y≧-√2
(x,y)∈Q(-√2)={(x,y)|x+y≧-√2}
P⊂Q(-√2)

(-1/√2,-1/√2)∈P={(x,y)|x^2+y^2≦1}
→(-1/√2,-1/√2)∈Q(K)={(x,y)|x+y≧K}
→-1/√2-1/√2=-√2≧K

K≦-√2

問2
P={(x,y)|x^2+y^2<2}
Q(K)={(x,y)|x+y<K}
(x,y)∈P
k=x+yとすると
y=k-x
x^2+(k-x)^2<2
2x^2-2kx+k^2<2
0≦2(x-(k/2))^2<(4-k^2)/2
0<4-k^2
k<2
x+y<2
(x,y)∈Q(2)={(x,y)|x+y<2}
P⊂Q(2)

K<2を仮定すると
x=y=K/2
とすると
x^2+y^2=K^2/2<2
x+y=K
(x,y)∈P-Q(K)→P⊂Q(K)でないから
P⊂Q(K)に矛盾するから


K≧2
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Q2つの命題の意味の違いについて

Journal of Optimization Theory(1985)の'An Extension Lemma and Homogeneous Programming'に掲載されている以下の定理について、(i)と(ii)との意味の違いがいまいちよくわかりません。直感的には、言葉の順序の違いからくる違いだとは認識できますが、はっきりとせず困っているのが現状です。ご助言を頂ければ幸いです。

Suppose that C is a convex set and K is a convex, compact set in E. Then, the following assertions are equivalent.
(i) For each x ∈ C, there exists an y ∈ K such that (x,y) ≧ 0.
(ii) There exists an y' ∈ K such that (x,y') ≧ 0 holds for each x ∈ C.

Aベストアンサー

違いを際立たせて言えば,
(i)
Cに属するxをひとつ決めたら,それに応じて(x,y)≧0となるようなyを決めることができる。
yはxに依存してもよい。
(ii)
Cに属するどのxについても(x,y')≧0,となるようなy'がある。
y'はxに依存しない。

Q∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}

∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}
という重積分について質問です。∫∫【D】2x|y|dxdyと∫∫【D】2xydxdyってどう違いますか?

この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど、理屈としては、y座標が負になっている部分をx軸に関して折り曲げた結果として、図形がx軸に関して対称だったために、y座標が正の部分を2倍することになったと考えればよいのでしょうか?
言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。

Aベストアンサー

>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。
前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。

Q数学 同値と必要十分の意味について

すみません。教えて下さい。

命題のところで、一般には、偽になりうる双条件文
P ⇔ Q
のことを同値命題と言い、

これが、恒真命題のときに、PとQ はたがいに必要十分条件であると言うと、書籍に書かれております。

一方で、高校数学での、平方するなどの一部の式変形を除く、いわゆる解の集合が保存されるような式変形を同値変形と言うと思います。変形前の式を命題P 、変形後をQ とおくと、両者は恒真命題になるので、必要十分な変形を意味していると思います。

当然、必要十分な命題も、同値命題の一部なので、
言葉としては間違っていないのでしょうが、高校数学で、同値変形といった場合、必要十分な関係にあるととらえていいのでしょうか?

また、等価ということばも、必要十分の意味と思われますが、よいのでしょうか?

以前から気になってました。ご指導願います。

Aベストアンサー

ANo.5へのコメントについてです。

> 難しいですね。

 命題論理の論理式であって、「3は実数である」が真でも偽でも成り立つような恒真式、というものだって作れる。その際には「3は実数である」の中身は一切詮索する必要がなく、だから「A」に置き換えても同じなわけです。
 逆に言えば、中身をこそ問題にしたいときには「等号を持つ一階述語論理」と「集合論」使わなくちゃ、ということです。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q命題とは?

こんばんは。

命題と言う言葉を辞書で調べると「判断を言語的に表現したもの。論理学では真偽を問いうる有意味な文をさす。また、その文が表現する意味内容をさす場合もある」等となっているのですが、バカな私にはチンプンカンプンです。

どのような言語や文等が命題で、どのような言語や文等が命題ではないのか具体的に教えて下さい。

宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

数学では「命題」というと真偽が判断出来る文章のことだと教わりました。

「1+1は3である」
「1+1は2である」
これはどちらも正しいか間違っているか判断が出来るので命題である、と。

「○○くんは××さんより背が高い」
これも命題。
「××さんは△△さんより綺麗」
これは人によって判断結果が違うので命題にあらず。


でも、哲学用語と数学用語とでは違うかも知れません。

Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

[問1] (5x+3)^10の展開式でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値を求めよ。
[問2]x+y=1を満たす全てのx,yに対して
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
(5x+3)^10=10Σk=0[(10-k)Ck 5x^(10-k)3^k]なので
p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
a:b=pC(10-p) 5^p 3^(10-p):(1+p)C(9-p) 5^(1+p) 3^(9-p)
で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

[2の解]
与式をx+yという対称式で表せばならないと思います(多分)。
どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

Aベストアンサー

 (1)Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか?
 (2)a,b,cを求めるにはまず、x+y=1 を満たすすべての(x,y)で成り立つのですから、x+y=1を満たす(x,y)をまず代入してみてはどうでしょうか。候補としては、(1,0)(0,1)(2,-1)など。
 それから計算されたa,b,c でx+y=1を満たすすべてのx,yで成り立つかどうかを確認するという手順でどうでしょうか?

Q命題2

1任意の実数xに対し、自然数Nが存在してN>xとなる。
2自然数Nが存在して、任意の実数xに対しN>xとなる。
以前聞いたこの2つの命題の否定命題の真偽はどうなるのでしょうか?
また
任意の実数xに対しN>xとなる自然数Nが存在する。
という命題は上の2つの意味とは違うのでしょうか?

Aベストアンサー

encollegeさん、こんにちは。
ある命題pの否定¬pは「pではない」ことを表します。

>1任意の実数xに対し、自然数Nが存在してN>xとなる。

この命題の否定は、
「任意の実数xに対し、N>xなる自然数Nが存在しない」
という命題になるでしょう。
これは、明らかにおかしいですね。
実数xは任意ですが、それに一番近い自然数N’が存在します。
今N'+1=NとなるNを取れば、この命題が成り立たないことが分かります。よって偽です。

>2自然数Nが存在して、任意の実数xに対しN>xとなる。

この命題の否定は、
「自然数Nが存在して」という部分を否定すればよいので
「任意の実数xに対し、N>xとなる自然数Nは存在しない」
となるでしょう。
これは正しいか?というと、充分大きな自然数Nをとっても、
それよりも大きな実数xは矢張り存在しますから、正しいことが分かります。
よって真ですね。

>任意の実数xに対しN>xとなる自然数Nが存在する。
という命題は上の2つの意味とは違うのでしょうか?

これは、上の命題2と同値です。
「任意の実数xに対して、N>xとなるような」
というのは、形容詞と考えてください。
そのような形容詞を持つ「自然数Nが存在する」
というのが命題になっています。

命題2の「自然数Nが存在して・・・」というのは
「自然数Nが存在するんだけど、そのNというのは、次のような条件があるんだよ」
ということです。
つまり、先程の形容詞をもつような自然数Nがあるんだよ、という命題になります。

・・・ちょっと、ややこしかったでしょうか。
ご参考になればよいのですが。

encollegeさん、こんにちは。
ある命題pの否定¬pは「pではない」ことを表します。

>1任意の実数xに対し、自然数Nが存在してN>xとなる。

この命題の否定は、
「任意の実数xに対し、N>xなる自然数Nが存在しない」
という命題になるでしょう。
これは、明らかにおかしいですね。
実数xは任意ですが、それに一番近い自然数N’が存在します。
今N'+1=NとなるNを取れば、この命題が成り立たないことが分かります。よって偽です。

>2自然数Nが存在して、任意の実数xに対しN>xとなる。 ...続きを読む

QX-Y平面の領域D={(x,y)|0≦x≦1,x-1≦y≦x+1}を、

X-Y平面の領域D={(x,y)|0≦x≦1,x-1≦y≦x+1}を、x/y=u,y=vとして、U-V平面での領域で表したいのですが、どうにもできません。誰か教えてください。

Aベストアンサー

定義域をどう変換したら良いかわからないという意味の質問と捉えるならば、(<、>の下の等号は省略)
0<x<1 より両辺を足したり引いたりすれば、
1<x+1<2
-1<x-1<0
よってx-1<y<x+1 は -1<y<2 となり、 -1<v<2
また、x/y=uより0<x<1は0<uy<1
これから両辺に(題意としてy=v=0は定義されないので)1/yを掛ければ
0<u<1/y=1/v となりvの定義域から1/vの定義域の上限は無限大なので
0<uのみとなる。
結果、-1<v<2、0<uが領域の変換後の回答です。


 

Q命題

1任意の実数xに対し、自然数Nが存在してN>xとなる。
2自然数Nが存在して、任意の実数xに対しN>xとなる。
この2つの命題の真偽はどうなのでしょうか?またこの2つの命題は同じ意味じゃないんでしょうか?どこが違うのかワカリマセン。

Aベストアンサー

encollegeさん、こんばんは。
命題・・・ややこしいですね。ちょっと考えてみましょう。

>1任意の実数xに対し、自然数Nが存在してN>xとなる。

これは「どんな実数xをとっても、xよりも大きな自然数Nが存在する」という命題です。
Nとして、N=x+1をとれば明らかです。
この命題は真です。

>2自然数Nが存在して、任意の実数xに対しN>xとなる。

この命題は「ある自然数Nがあって、その自然数Nは、どんな実数よりも大きい」というものです。
ここで、充分大きな自然数Nを考えてみましょう。
しかし、N+1という自然数(であり実数)である数字が存在します。
これは、すなわちx=N+1ととれば、命題が成り立たないことを示します。
よって、この命題は偽です。

それぞれの命題の持つ意味をじっくり考えてみてください。
なるほどな~と思えると思います。頑張ってください!!

QA={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c

A={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c}}のとき、A∩Bは{Φ}なのかそれとも{a,b}などを含むのかどうかがわかりません。 わかる人がいらっしゃるなら教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

落ち着いて考えれば分かるはず。
ただ、若干の慣れは必要かも・・・。

・考え方
Aの元は、Φと{{a,b},{a,c}}}の2個。
Bの元は、Φと{a,b}と{a,c}の3個。
共通するのは、Φだけ。

よって、A∩Bの元はΦだけ。
つまり、A∩B={Φ}。


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