(問題1)
tを実数とする。xについての方程式x+1/x=t が相異なる2つの正の解をもつためのtの値の範囲を求めよ。

(問題2)
aを実数とする。xについての4次方程式x^4-ax^3+(a+4)x^2-ax+1=0 が相異なる4つの正の解をもつためのaの値の範囲を求めよ。

(問題3)
底面が半径3cm,高さ6cmの円錐を,高さを3等分する点を通り,底面に平行な平面で3つの部分P,Q,Rに分ける。このとき、Qの部分の体積を求めなさい。


という問題です。
どなたかできる方、説明よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

(問題1)


分母を払うと、xについての2次方程式になる。それが、相異なる2つの正の解を持つ条件を求める。
判別式>0、2解の和>0、2解の積>0より t>2

(問題2)
この方程式は、相反方程式という。(問題 1)がヒントになっている。
x≠0より x^2で両辺を割ると、(x^2+1/x^2)-a(x+1/x)+(a+4)=t^2-at+a+2=f(t)=0 ‥‥(1)
x+1/x=t とすると、t>2 だから、(1)がt>2に異なる2つの解を持つ条件を求める事になる。

(注)xとtの対応は、1対2である事に注意。

このまま、方程式の解の分離の問題として、計算だけで解く事も簡単だが((1)の判別式>0、f(2)>0、軸>2)グラフを使おう。

(1)は t^2+2=a(t-1)であるから、放物線:y=t^2+2 と 定点(1、0)を通る直線:y=a(t-1)が t>2 で異なる2点で交わる条件を求める。

それくらいは、できるだろう。続きは、自分でやって。
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こっちが先かな? 宿題投げちゃダメだよ。



ヒントだけね。

1:t=x+1/x かな?

t=x(x+1) と変形するのかな? なんか少し違和感を覚えますが。

この方程式で、xの解は tによって変わりますね。

t=0だとしてみると、xの解はどうなるかな?

2:高校ですから、微分積分が出来るものとして。
一回微分してあげて、三次方程式に落とす。
重解を持たないように、正の解になるように、値を調整すれば良いだけだと思いますが。
 #もう一回微分してあげて、極値、上昇、下降 を丁寧に出してあげればいいよ~。

3:円錐の体積がわからないのなら、それはちょっとまずいけれど、
上下の三分の一 がそれぞれ取れた形だから、全体からどける部分を引けばいいだけだよ。

難しく考えずに、丁寧に1つずつ消していけば、ちゃんとたどり着くよ。

こういうのを人任せにしないで、自分で考えてわからないところを聞く。

そういう癖をつけておかないと、受験なんて通れば終わり! ではないからね。

後から苦労するか、今苦労するか。それだけ。

 #一応、代数学の数学屋でした。
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