数学のおそらく数IIIの自然対数の微分がわかりません。

ae^x・sinx

わかります方は回答お願いします。

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A 回答 (2件)

どの部分が分からないのでしょうか。

分からないと思うところを抜き出して質問しないとどの部分に対して答えていいのかが分からなくなります。
#1では積の微分が分からないのだろうという解釈で説明しています。

でも質問のタイトルは「自然対数の微分」です。
自然対数(lnxというような表現)はどこにもありません。
eは自然対数の底と呼ばれているものです。
e^xが入っている表現なのでそれを自然対数と呼んだのだろうと思います。

そういう混乱をしているのであれば
e^xがどういう量であるかをまず調べてみるというのが先でしょう。
(e^x)'=e^x という式が出てきます。
この式はもう認めてしまうよりほか仕方がないものです。
eの定義の一つだと言ってもいいものでしょう。

この微分の式が分からなかったのではないですか。
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積の微分公式を使えば良い。


(uv)'=u'v+uv'

{ae^x・sin(x)}'=a{e^x・sin(x)}'
=a{(e^x)'sin(x)+(e^x)(sin(x))'}
=a(e^x){sin(x)+cos(x)}
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Q自然対数をとる?とは・・・

y=x^x 両辺の自然対数をとると logy=xlogx
これはどういうことなのかさっぱりです。

ログについては、たとえばlog(小さい2)8 なら2を何乗かしたら8になります ってことは2を3乗すると8だから log(低?が2)8の答えは3だ!
 ということなどは分かるのですが、一番上の式の意味と自然対数をとるという意味が分かりません。
「自然対数」とか「常用対数」とか言葉はしっているのですが、内容がいまいち分からなくて・・・
お願いします!!!

Aベストアンサー

2^3=8 → log(2)8=3 
左の等式において、両辺にlog(2)をつけてみると
  log(2)2^3=log(2)8
  3log(2)2=log(2)8
     3=log(2)8  と最初の右の等式と同じに変形できます。

このように、等式(両辺とも正)は、両辺を底が同じ対数の真数に入れる
ことができます。
底がeのとき、自然対数をとるといってます。

だから、y=x^xはeを底とする対数をとって、
 log(e)y=log(e)x^x=xlog(e)x
とできます。(普通、(e)は省略されますが)

Q(sinx)^xの微分と(logx)^xの微分

すいません間違えました。(sinx)^xの微分と(logx)^xの微分 です。

Aベストアンサー

sin(x)^x=y(x) とおくとxlog sin(x)=log yです。両辺xで微分してlog sin(x) + xcos(x)/sin(x)=y/y'.これでy'が求まりました。log(x)^xも全く同じやりかたでできます。

Qこの連立方程式の解き方がわかりません。教えてください。底は自然対数なので、eとしてお願いします。

この連立方程式の解き方がわかりません。教えてください。底は自然対数なので、eとしてお願いします。

Aベストアンサー

a^x=x…(1)
a^x log(a)=1…(2)
(1)を(2)に代入すると、
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e^(x/x)=x。よって、x=e。
これらより、
a=e^(1/e)。

ちなみに、前の問題で書いてなかったですが、前の問題の答えはもちろんa≧e^(1/e)ですよ。

Qx^x^x^x^x^x^・・・・・^x  の一般的な表し方

タイトル通りになってしまいますが、

x^x^x^x^x^x^・・・・・・^x (xはn個ある)

を一般的に表すことができる式というのはあるものなのでしょうか?

grapesで
y=x
y=x^x
y=x^x^x
y=x^x^x^x
 ・
 ・
 ・

のグラフを描いてみましたところ、どうやらnが偶数か奇数かによって2種類のグラフに近づいているように見えたのです。どなたか一般的な記述の仕方をご存知の方、宜しくお願いしますm(_ _)m

Aベストアンサー

x^x^xはx^(x^x)と表すべきです。同様にx^x^x^xではなく、x^(x^(x^x))です。
これは(x^x)^xとx^(x^x)が等しくないから区別する必要があるわけです。
たとえば(3^3)^3=729なのに対し、3^(3^3)=19683です。
一般に後者の方が圧倒的に大きくなります。

さて、話をx^(x^(x^(…)))に戻しましょう。
これは定義域を[0,1]に限れば、確かにおっしゃるとおり偶数と奇数で
関数の形状が分かれます。これはx^x→1(x→0)が関係しています。
x^(x^x)は不定形の極限ではなく、単に0^1=0に収束します。
偶数個のときは不定形の極限が現れるわけです。
数学的帰納法とたとえばlogを取って極限計算をされてみたらよいでしょう。

さて問題になっている、x^(x^x)などの表記ですが、
これにはクヌースのタワー表記(1976)というものが知られています。
たとえば
x^(x^x)=x↑↑3
x^(x^(x^(x^(x^x))))=x↑↑6
などと表示します。参考URL(wiki)などをごらんください。
wikiによるとx^^3や、x^^6などとも表示するようです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%9F%A2%E5%8D%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98

x^x^xはx^(x^x)と表すべきです。同様にx^x^x^xではなく、x^(x^(x^x))です。
これは(x^x)^xとx^(x^x)が等しくないから区別する必要があるわけです。
たとえば(3^3)^3=729なのに対し、3^(3^3)=19683です。
一般に後者の方が圧倒的に大きくなります。

さて、話をx^(x^(x^(…)))に戻しましょう。
これは定義域を[0,1]に限れば、確かにおっしゃるとおり偶数と奇数で
関数の形状が分かれます。これはx^x→1(x→0)が関係しています。
x^(x^x)は不定形の極限ではなく、単に0^1=0に収束します。
偶数個のときは不定...続きを読む

Q自然対数に変換する意味がわかりません

ある化学分析の本に、2組の時系列データについて、変動パターンの相関係数を求めるのに、移動平均との比(×100)を自然対数に変換して相関係数を求める、との説明がありました。こういう場合、自然対数に変換するのにどういう意味があるのでしょうか?

Aベストアンサー

以下の記述は、厳密ではありません。大体の雰囲気という程度で読んでください。

時系列データを分析するときは、クロスセクションデータとは違った世界で考えることが多いのです。一番大きな違いは、次のことだと思います。

[1] クロスセクションデータでは、すべてのデータが同一の分布に従う確率変数からの実現値(見本)とみなされることが多い。

[2] 時系列データでは、各時点のデータは、それぞれ別の分布に従う確率変数からの実現値とみなされることが多い。

ただ、[2]の想定だけではあまりに漠然としすぎて分析になじまないので、普通、次の仮定を置きます。

[3] 時系列データでは、各時点のデータは、弱定常過程(単に「定常過程」と言うこともある)に従う確率過程からの実現値(見本過程)とみなされることが多い。

弱定常過程の意味は、他の参考書をみていただくとして、その重要な特性に次のことがあります。

[4] 各時点の分散は、時点に依存しない一定値である。

ここからが、本題です。もし、扱っているデータが次の性質を持っているように見えたとします。

[5] データの誤差あるいは分散が、データの値に比例する(例えば、10の値を持つデータの分散が1だったとすると、100の値を持つデータの分散は10になる)。

この[5]のような性質を持つデータは、現実によく見かけるタイプです。さらに、このデータが時間とともに傾向的に増加や減少しているときは、[4]の仮定と矛盾することになります。すると、このままでは弱定常過程にならないので、通常の時系列データの分析手法(相関分析を含む)がほとんど使えないことになってしまいます。

で、このような場合、よく使われるテクニックが、対数変換です。[5]のようなデータも、対数変換すれば、[4]と矛盾しなくなるからです。

よって、結論は、次のようになります。

[6] 時系列データを対数変換したほうが良いかどうかは、単に変動のレンジが大きいかどうかではなく、誤差or分散がデータの値に比例しているかどうかで判断する。

以下の記述は、厳密ではありません。大体の雰囲気という程度で読んでください。

時系列データを分析するときは、クロスセクションデータとは違った世界で考えることが多いのです。一番大きな違いは、次のことだと思います。

[1] クロスセクションデータでは、すべてのデータが同一の分布に従う確率変数からの実現値(見本)とみなされることが多い。

[2] 時系列データでは、各時点のデータは、それぞれ別の分布に従う確率変数からの実現値とみなされることが多い。

ただ、[2]の想定だけではあまりに漠然とし...続きを読む

Qロピタルでも解けない?極限lim[x→0](e^tanx-e^x)/(e^sinx-e^x)

極限
lim[x→0](e^tanx-e^x)/(e^sinx-e^x)
を求めたいのですが、0/0型となります。
ロピタルの定理を用いて、分母分子をそれぞれ微分しようとしても、逆にややこしい式になります。
どのようにすれば解けるでしょうか?

Aベストアンサー

ロピタルの定理を繰り返し用いれば,求められますよ.
f(x) = e^(tan x) - e^x,
g(x) = e^(sin x) - e^x
とすると,
f(0) = g(0) = f'(0) = g'(0) = f''(0) = g''(0) = 0,
f'''(0) = 2, g'''(0) = -1
より,
lim[x->0] f(x)/g(x)
= lim[x->0] f'(x)/g'(x)
= lim[x->0] f''(x)/g''(x)
= lim[x->0] f'''(x)/g'''(x)
= 2/(-1)
= -2.
計算はご自分で.

Q常用対数と自然対数の違い

R-C回路があります。抵抗Rにかかる電圧をVr、コンデンサにかかる電圧をVcとする。

Vr=20(1-e^(-500t))

Vc=20e^(-500t)

となりました。Vr=Vcとなる時間を求めよ、という問題があり、計算途中で両辺に底を自然対数としてlogをとりました。

その結果答えが合いませんでした。次に底を常用対数 10 で計算すると合いました。

どうやって常用対数と自然対数の使うときを見極めればよいですか?

Aベストアンサー

計算方法の違いですから、次のように、どちらで計算しても同じ結果になります。

・常用対数の場合

20(1-e^(-500t))=20e^(-500t))    1=2e^(-500t) e^(-500t)=1/2

log e^(-500t)=log(1/2)   500t×loge=0.3   t=0.3/(500loge)=0.3/(500×0.434)≒0.00138

・自然対数の場合

ln e^(-500t)=ln(1/2)   500t=0.693   t=0.693/500≒0.00138
 
  e≒2.718 です。

通常は常用対数を使います。

Q対数微分法 y=x^sinx (x>0) を微分せよ。

y=x^sinx (x>0)
log(y) = log(x^sinx) = sin(x)log(x)

1/y*dy/dx = cos(x)log(x) + sin(x)/x
dy/dx = y(cos(x)log(x) + sin(x)/x)=x^sinx (cos(x)log(x) + sin(x)/x)

これで合っていますか?習ったばかりで自信がありません・・・。

Aベストアンサー

>=x^sinx (cos(x)log(x) + sin(x)/x)
=(cos(x)log(x) + sin(x)/x) x^sin(x)
指数部の境がはっきりしないため↑のように書いた方が良いでしょう。
計算は合っていますよ。

Q自然対数の底 e を持つ対数の計算方法はどうやるんですか?

自然対数の底 e を持つ対数の計算方法はどうやるんですか?
例えば、log(7/6)や、log5などを例にして教えて下さい!

Aベストアンサー

一般的には、関数電卓で求めるのが、もっとも簡単かつ正確かつ速いです。

自然対数表から求める方法もあります。
http://www.piclist.com/images/www/hobby_elec/logarithm.htm
log(7/6) = log(7) - log(6) ≒ 1.94591 - 1.79176

また、低の変換をして、常用対数にしてから、常用対数表を用いる方法もあります。
log(5) = log_10(5)/log_10(e) ≒ 0.69897 / 0.43236
(ただ、この場合e ≒ 2.7としたので、精度はよくない)

Qlim[x→0](e^x-e^sinx)/x^3の極限値を求める問題

lim[x→0](e^x-e^sinx)/x^3の極限値を求める問題
分母と分子をe^xで割ったりしているのですが、上手く展開できません。どのように考えればよろしいのでしょうか?アドバイスの程お願い致します。

Aベストアンサー

x=0のまわりのテーラー展開により
sinx=x-x^3/6+x^5/30-...

lim[x→0](e^x-e^sinx)/x^3=lim[x→0](e^x-e^(x-x^3/6+x^5/30-...))/x^3
=lim[x→0]e^x(1-e^(-x^3/6+x^5/30-...))/x^3

x=0のまわりのテーラー展開により
e^(-x^3/6)=1-x^3/6+x^6/72-...

=lim[x→0]e^x(1-(1-x^3/6+x^6/72-...)e^(x^5/30-...))/x^3
=lim[x→0]e^x(x^3/6-x^6/72+...)e^(x^5/30-...))/x^3
=lim[x→0]e^x(1/6-x^3/72+...)e^(x^5/30-...))
=1/6


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