解説がないため解き方がわかりません。なので、数学の得意な方に解説して戴きたいです。
よろしくお願いします。


√3が無理数であることを用いて、次の問に答えよ。

(1)有理数a,bについて、等式a+b√3=0が成り立つならば、a=b=0であることを示せ。
(2)等式(12-√3)l-(1-2√3)m=lm+3n√3を満たす正の整数の組(l,m,n)をすべて求めよ。

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A 回答 (2件)

見ずらいので、文字をa、b、cにする。



(12a-b-ab)+√3(2b-3c-a)=0 だから、√3が無理数であるから、12a-b-ab=0 ‥‥(1)、2b-3c-a=0 ‥‥(2)
(1)から、b(a+1)=12a と変形すると、a+1>、b>0から、b=(12a)/(a+1)=12-(12)/(a+1)
従って、a+1 は (a≧1で) 12の約数から、a+1=2、3、4、6、12.
この時の、aの各々の値に対するbの値を求める。もちろん、bも正の整数値。

その上で、(2)より 3c=2b-a であるから、それらの(a、b)の整数値を代入して、cも正の整数値になるものを求めるだけ。

ここまで説明すれば、答えを求める事は自分でできるだろう。

(注)
(1)の変形は、(a+1)*(b-12)=-12 としても良い。同じ事なんだが。
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この回答へのお礼

助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/20 06:05

i)


整数に整数をかけたら必ず整数

で、
有理数を有理数で割ったら必ず有理数。
#整数c,d,e,fを用いて二つの有理数d / c, f / eを考えたら、
これを前者を後者で割ったら (d / c) / (f / e) = (d * e) / (c * f)で分母、分子整数になるように書ける(=有理数)からね。

b=0でないと仮定し、矛盾を導くことで背理法からb = 0を言う。
a + b * √3 = 0
b * √3 = - a
√3 = - a / b
左辺は無理数なのに右辺は有理数だ。矛盾しているから b = 0である必要が有る。
で b = 0なら b * √3 = 0で、a + 0 = 0だから a = 0
よって a = b = 0である


ii)
(12-√3) *l-(1 - 2*√3)*m=l*m+3*n*√3
色々移行して√3を含むやつと含まないやつに分ける。
(12 * l - m - l * m) + (-l + 2 * m - 3 * n) * √3 = 0

i)から、

12 * l - m - l * m = 0と言える。
(12 - m) * l - m = 0

場合分け1) 12 - m = 0のとき、つまり m = 12なら
12 * l - 12 - l * 12 = 0
12 = 0で成り立たないからありえない。

場合分け2) 12 - m = 0でなかったとき

l = m / (12 - m)

ところで、lとmは正の整数だから
mは大きくても11

ここまで絞り込んだらあとは力技。ついでに(-l + 2 * m - 3 * n) = 0になるようなnがあるかも
m = 6, l = 1, nは整数にならない
m = 8, l = 2, nは整数にならない
m = 9, l = 3, n = 5
m = 10, l = 5,n = 5
m = 11, l = 1 , nは整数にならない。

よって、

答えは
m = 9, l = 3, n = 5
m = 10, l = 5,n = 5

#計算間違えてたらゴメンね。
#プログラミングやるとどうしても掛け算の演算子省略が落ち着かなくて*を使いたくなる…。
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この回答へのお礼

ご丁寧にどうもありがとうございました。

お礼日時:2011/04/20 06:06

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