次の問題の証明をよろしくお願いします。

(1){Σanbn}'2≦Σan'2Σbn'2

シグマはすべてn=1~mまでです。

(2)X以下の素数の個数はloglogXより大きい


一応高校生でも解けると言われましたが大学でやってる問題です。(-.-;)


検索ワード
数列シグマΣ実数素数loganbn不等式証明線形代数
微分積分一般位相確率論

A 回答 (1件)

(1)は「コーシーの不等式」で検索すれば証明は調べられる・・・!



(2)
p[n]を素数を表すものとする。p[1]=2,p[2]=3,p[3]=5,p[4]=7・・・
n=1,2,・・・,Nに関して
p[n]<2^(2^n)なる不等式が成り立つとすればユークリッドの論法から
p[N+1]≦(p[1]・p[2]・・・p[N]) + 1<2^2+2^(2^2)+2^(2^3)+・・・=2^(2+4+8+・・・+2^N)<2^(2^(N+1))

n≧4とするときe^(e^(n-1))<x≦e^(e^n)となるようなxを考える。
n≧4に対してe^(n-1)>2^nであるからe^(e^(n-1))>2^(2^n)
従ってx以下の素数の個数を表す関数をπ(x)とすれば
π(x)≧π(e^(e^(n-1)))≧π(2^(2^n))≧n
x≦e^(e^n)からloglogx≦nであるのでπ(x)≧loglogx (x>e^(e^3))
2≦x≦e^(e^3)のときもπ(x)≧loglogxは成立する。
よってπ(x)≧loglogx  (x≧2)
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