式1 pv∧γ=p1v1∧γ
式2 w12=∫1→2pdv
式3 w12=p1v1/(γー1)*(1ー(v1/v2)∧γー1)
式4 式3=p1v1/(γー1)*(1ー(p2/p1)∧(γー1)/γ)

上記式2に式1変形を代入し積分すると式3になります
式3を変形すると式4になります

質問1 式3を導出する過程がわかりません…簡単な積分についてはある程度は出来ますが、指数の扱いが苦手でわかりません

質問2 式3→式4の変形過程がわかりません

質問3 ついでに質問ですが…教本によると絶対仕事をw12、工業仕事をwtと表記しています。wの右側に12、tと記載していますがそれぞれに意味はあるのでしょうか?単なる区別だけでしょうか?


蛇足ですが、最近になり高校数学及び熱力学を勉強していますので、出来るだけ解りやすく説明頂ければ幸です

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A 回答 (2件)

#1です。


∫dV/Vと∫dV/V^(1-γ)は同じものではありません。
γ は比熱比と呼ばれている量です。
γ=Cp/Cv>1です。
Cp=(Q/△T)p
Cv=(Q/△T)v
Q=△U+p△V ですから体積膨張に必要な分だけ余分の熱量が必要です。
1molの理想気体の場合には Cp=Cv+Rになります。

元々の式1を第一法則の式と理想気体の状態方程式から導くときにはlnVが出てきます。
それと混同しているのではありませんか。
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この回答へのお礼

度々の回答頂きありがとうございます。

回答者さんのご指摘通り勘違い&見間違いしてました。

お礼日時:2011/04/22 02:12

式1 p1V1^γ=p2V2^γ


この式を方程式の形で書けば pV^γ=k になります。
W=∫[1→2]pdV=∫[1→2](k/V^γ)dV
 =k[V2^(1-γ)-V1^(1-γ)]/(1-γ)
 =p1V1^γ[V2^(1-γ)-V1^(1-γ)]/(1-γ)
 =p1V1[V2^(1-γ)/V1^(1-γ)-1]/(1-γ)
 =p1V1[1-V2^(1-γ)/V1^(1-γ)]/(γ-1)
 =p1V1[1-(V2/V1)^(1-γ)]/(γ-1)
 =p1V1[1-(V1/V2)^(γ-1)]/(γ-1)・・・・式3

p1V1^γ=p1V2^γ ⇒ V1p1^(1/γ)=V2P2^(1/γ)・・・式3に代入

p△Vは力学的仕事と言います。
高校の物理でも出てきますがちからFを加えて距離L移動すれば仕事はFLであるというものです。
いくら大きな力がかかっていても動かなければ仕事は生じません。
力を加えて物体の高さを変化させると位置エネルギーが増加します。仕事がエネルギーを変化させているのです。物理で仕事と言えば力学的な仕事のことです。「絶対仕事」という言葉は出てきません。
力学的な仕事以外の仕事としては電気的なエネルギーの移動などで形のエネルギーが変化する場合に使います。その場合は当然変数はp、Vではありません。

「工学仕事」という言葉がどういうものであるかは私には分かりません。
以前に見た書き込みからはV△pに対して使っている言葉のようだということまでは分かります。
これはエンタルピーHの変化を△H=△(U+pV)=△U+p△V+V△pとした時に出てきます。
確かにpとVに関係してエネルギーの次元を持つ量になりますが仕事であると言っていいのかは別の問題です。
p△VとV△pをどちらも「仕事」と呼ぶというのはその元になっているpVを仕事だとしているからでしょう。でも上でも書いたように仕事はp△Vです。pVではありません。

手元にあるアトキンスの「物理化学」を見ると
(dH/dT)p=Cp、   
(dH/dT)v=(1-αμ/κT)Cp  
  Cp:定圧比熱、α:膨張率、μ:ジュール・トムソン係数、κT:等温圧縮率
であると書かれています。(偏微分記号の書き方が分からないので普通の微分記号を使いました。)
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この回答へのお礼

ご説明頂きありがとうございます。

質問ですが
∫1→2 k/vdvは
k(lnv)1→2にはならないのでしょうか?

回答者さんにご説明いただいた∫1→2 k/vdvを積分する次点ですでに躓いている状態です。
指数の変形が良くわからず、いろいろな公式を調べたのですがわかりませんでした

お礼日時:2011/04/20 14:16

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Q断熱変化と定容比熱

断熱変化時は圧力も体積も変化しています。
どうして断熱変化時の仕事の式はW=m・Cv・-dTとなり、
定容比熱Cvを使うのでしょうか?

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理想気体だからですね。
理想気体の場合は内部エネルギーが体積に依存しないので

dU = m Cv dT

が必ず成り立ちます。

Q∫Kπ~K+1π|sint|dt=|∫Kπ~K+1πsintdt|

∫Kπ~K+1π|sint|dt=|∫Kπ~K+1πsintdt|
は、なぜいえるのですか?

解説では、Kπ~K+1πにおいてsintの符号が一致するため・・・
と書いてあるのですが、いまいちよくわかりません。

Aベストアンサー

たぶんこの問題には、Kは整数とする、または自然数とする、と書いてあると思います。さらに、K+1にはカッコが付いているはずです。

このとき、Kが自然数の時積分範囲は単位円の上半分または下半分となります。Kが偶数のときは上半分で、奇数の時は下半分になります。実際に積分してみましょう。
Kが偶数のとき、sintをこの範囲で積分すると、答えは2になります。|sint|を積分しても、2になります。
Kが奇数のとき、sintをこの範囲で積分すると、答えは―2になります。その絶対値は2となります。|sint|をせきぶんすると、2になります。
ちゃんと一致していますね。と言ってもわかりにくいと思うので、成り立たない場合を考えます。

sintをπ/2~3π/2の範囲で積分します。そうすると答えはゼロになります。|sint|を同じ範囲で積分すると、答えは2になります。

グラフを書いてみましょう。関数を積分するということは積分範囲とx軸と関数によって囲まれた面積を求めることと一致します。ただしこれは、積分範囲において関数が正の場合の話で、関数が負の値を取っている範囲ではマイナスが付きます。つまり、グラフをかいて、x軸よりも上にある、x軸と関数によって囲まれた図形の面積をすべて足して、x軸よりも下にある、x軸と関数によって囲まれた図形の面積を引くと、積分した値になるのです。グラフを書いてみると、積分範囲において、sinxの値が常に正、または負の場合、∫|sinx|dx=|∫sinx dx|が成り立つことがわかります。

たぶんこの問題には、Kは整数とする、または自然数とする、と書いてあると思います。さらに、K+1にはカッコが付いているはずです。

このとき、Kが自然数の時積分範囲は単位円の上半分または下半分となります。Kが偶数のときは上半分で、奇数の時は下半分になります。実際に積分してみましょう。
Kが偶数のとき、sintをこの範囲で積分すると、答えは2になります。|sint|を積分しても、2になります。
Kが奇数のとき、sintをこの範囲で積分すると、答えは―2になります。その絶対値は2となります。...続きを読む

Q準静的な断熱変化について

準静的な断熱変化について

準静的な断熱変化ではエントロピーは変化しない。このことを用いて、(5.20)式を導け。
この問題を教えてください。

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1molの理想気体として計算します。

理想気体の状態方程式
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マイヤーの式
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U=Cp*T (3)
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dU=TdS-pdV
断熱変化(dS=0)の場合は
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(1)~(5)を連立してpのVに関する微分方程式を導き解けばよいでしょう。
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=√{A^2-(y-B)^2}dy, y-B=z
=√{A^2-z^2}dz, z=Au, (-1≦u≦1)
=A|A|√(1-u^2)}du, u=sin(t),(-π/2≦t≦π/2)
=A|A|cos^2(t)dt
=(A|A|/2){1+cos(2t)}dt

といった変形と置換を使って積分すれば

A|A|{t+sin(2t)/2}=x+C

置換前の元の変数、定数に戻せばいいですね。

A|A|{arcsin(u)+u√(1-u^2)}=x+C
A|A|{arcsin(z/A)+(z/A)√(1-(z/A)^2)}=x+C
A|A|{arcsin((y-B)/A)+((y-B)/A)√(1-((y-B)/A)^2)}=x+C

後は, A=(a-c_2)/2, B=(a+c_2)/2を代入して整理するだけなので
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Q断熱変化についての質問です。

等温変化をP-V図で表すと、右上領域に行けば行くほど温度が上がることが分かりますよね。それは状態方程式を用いてP=nRT/Vと表すことができ、Tが大きくなればなるほど、右上領域に等温線が移動するからです。
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的外れな質問かもしれませんが、ご回答宜しくお願いします!<(_ _)>

Aベストアンサー

>断熱変化をP-V図で表すと、右上領域に行けば行くほど吸熱する?ということを教わったのですが
これは意味が分かりません(^^;)
断熱での変化ですから、吸熱は考えないはずです(-_-)

断熱変化では「ポアソンの関係式」と呼ばれるものが成り立ちます(^^)
つまり、
pV^γ=(一定値)  γ:比熱比と呼ばれる定数

問題は式中の(一定値)ですが、ポアソンの関係式は微分方程式を解いて出てきますので、(一定値)は積分定数でしかありません(・∀・)
つまり、初期条件から決まる値であり、Qは当然含みません・・・「断熱」変化ですからね・・・(・ー・)
また、等温変化の様に気体の温度が高いほどP-V図の曲線が右上に描かれる事もありません・・・断熱変化では気体の温度は変化しますから(・ ~ ・)ノ

参考になれば幸いです(^^v)

Qdsinθ=mλという式の導出

こんばんは
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回折格子の公式ですね
どう理解できないのかがわからないのですが
添付した図で格子間隔dを斜辺とした直角三角形はわかりますか?
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となります
なので

(求めたい行路差)=d×sinθ

つまり公式の行路差の式になります

Q等温変化と断熱変化の違い

よろしくお願いします。物理の熱のところについて質問させてください。

ピストンを動かすときに等温変化や断熱変化、定積変化、定圧変化などがありますが、定積変化や低圧変化はわかるのですが、等温変化と断熱変化の違いがわかりません。
どちらも温度、つまり熱の移動がない変化ということではないかと思うのですが、テキストでは、条件が違います。
等温変化のときは、ΔU=0で
断熱変化のときは、Q=0となっていました。
自分は同じ熱の移動がないという変化なのに、どうして条件が違うのか疑問です。
Uは内部エネルギーで、Qは熱量です。
等温変化のときは、ΔU=0のみが条件だとすると、
式ΔU=W+Qより、
Q=0でなくてもいいということですか?つまり、W=-Qであれば、Qは0でなくてもいいということでしょうか?
温度イコール熱ではないのでしょうか?
いまいち断熱変化と等温変化の違いがよくわかりません。

教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ピストンを押して気体を圧縮したとします。
この時の変化は等温、断熱のどちらでしょうか。

多分この辺がわかりにくいのだと思います。
この操作自体はボイルの法則のところで当たり前に様にして出てきます。でも操作だけなんです。
「温度一定の条件で」とか「温度が変わらないようにして」という注が付いています。「温度が変わらないようにしようと思えばどうすればいいか」には触れられていません。

実際にやると等温、断熱の間の変化が起こります。
圧縮すると体積が減ります。いくらか温度も高くなります。自転車の空気入れ(金属製のもの)のようなものだと手で触って感じることが出来るほどです。しばらく待つとわからなくなります。
温度が上がったということは内部で熱が生じ、外に出てきたということです。温度が上がっていますから等温ではありません。外に熱が出てきていますので断熱でもありません。熱が外に出てきていますので出てこない場合に比べると内部の温度上昇は小さくなっているはずです。
ピストンとシリンダーの構造や材質を変えることによって熱が外に出てくるのをいくらか押さえることが出来ます。でも何時も時間の尺度が問題になります。時間が経つと外部の温度と同じになります。構造や材質を変えることによって外部の温度と同じになる時間を速くする事も出来ます。
普通に起こる圧縮の場合、断熱変化と等温変化の間の変化が起こっています。「全く熱の移動が起こらない」という条件と「十分に熱の移動が起こる」という条件は2つの極限的な条件です。理想的な条件です。

等温変化の場合、熱のやりとりの出来る大きな物体と接触しているとしています。「熱浴」と言います。
空気中でやるとき、少し待てば周りの空気と同じ温度になる、それによって空気の温度は上昇しないと考えるとが出来るのであれば空気が熱浴であることになります。空気の温度がどうしても高くなるというのであれば熱浴としては不充分だということになります。水の中に浸けるという場合であれば水槽の中の水が熱浴になります。

等温変化を実現するためには十分熱容量の大きな熱浴と接触させるという但し書きがたいてい書かれています。

#1のご回答で「氷水」を考えられているのも熱浴の工夫の一つです。水だと温度が上がってしまうかもしれないですが氷水だと氷が溶けてしまうまでは温度が上がらないので等温変化が実現するという工夫です。でもこれだと温度を選べませんね。温度コントロールの出来る水槽でやると氷水よりは等温条件は悪くなるかもしれませんが温度を選ぶことは出来ます。

等温変化はまだ工夫すればいくらか実現しているというイメージが取りやすいです。断熱変化は逆の場合の極限ですから実現の程度を知るのが難しいです。接触している2つの物体の間では必ず熱の移動があるはずですから完全な断熱は不可能です。完全に断熱させているとしたときの変化の予想値と実際とを照らし合わせることによってどの程度断熱条件が実現されているかを調べるということしか手がないのだと思います。熱力学では理想的に断熱されているとして温度変化がいくらになるかを求めることが出来ます。

質問者様は温度と熱の違いも混乱があるようです。
この違いは先にハッキリさせておく方がいいと思います。

ピストンを押して気体を圧縮したとします。
この時の変化は等温、断熱のどちらでしょうか。

多分この辺がわかりにくいのだと思います。
この操作自体はボイルの法則のところで当たり前に様にして出てきます。でも操作だけなんです。
「温度一定の条件で」とか「温度が変わらないようにして」という注が付いています。「温度が変わらないようにしようと思えばどうすればいいか」には触れられていません。

実際にやると等温、断熱の間の変化が起こります。
圧縮すると体積が減ります。いくらか温度も高く...続きを読む

QdU=TdS-pdVはどうやって出てくるの?

質問の通りですが、導出過程がわかりません。
U=Q-Wを微分して求めると思うのですが、
Q,Wはそれぞれどうなるのかわかりません!!!

Aベストアンサー

>U=Q-Wを微分して求めると思うのですが、

この式を微分することはできません。

第一法則はエネルギー保存則です。
変化について述べている法則です。
内部エネルギーの増加は外部から入ってきた熱量と外部からされた仕事の和であるというものです。
△U=Q+W
仕事が体積変化に伴うものだけだったとすると圧力一定として
W=-p△V
圧力が変化する場合には圧力が一定とみなせる範囲で△Vを考えて足し合わせます(・・・積分するということです)。
Qは微小量を考えることはできますが微分は出来ません。状態量ではないからです。
系に入ってきた熱量Qとエントロピー変化との関係は△S≧Q/Tです。等号は準静的過程について成り立ちます。上の第一法則の式を入れます。
T△S≧Q=△U-W=△U+p△V
従ってご質問の式は準静的過程での微小変化に対して成り立ちます。

Q等温変化と断熱変化の違い

等温変化:変化の途中において、気体温度が一定に保たれている変化
断熱変化:変化の途中において、その系と外界との間に熱量の出入が無いような変化

違いが分からないのですが…
同じ事を言い換えているだけではないのですか?

Aベストアンサー

断熱変化では温度が変化します。
中学のときに雲の出来方のところでやった(はずの)実験を思い出してください。
注射器の中に湿った空気を閉じ込めておいて、注射器を引くと注射器の中が曇ります。これは、注射器の中の温度が下がったからです。逆に、注射器を押すと温度が上がります。自転車のタイヤに空気をいれたときにポンプが熱くなるのもこれと同じです。
この、注射器を引くと温度が下がるのは断熱膨張で、注射器を押すと温度が上がるのは断熱圧縮です。(もちろん、実際には熱の出入りもありますから、完全なものではありませんが。)

等温変化では、体積変化による仕事の分だけ熱の出入りがあります。

Qγ行列のディラック方程式の導出方法

こんにちは、

ディラック方程式の導出は、まず
エネルギーE、運動量p1、p2、p3、質量m、光速度cとすると
E^2-c(p1^2+p2^2+p3^2)=m^2c^4
となるので、並び替え
E^2=c(p1^2+p2^2+p3^2)-m^2c^4
とする。更に
E/c=√(p1^2+p2^2+p3^2+-m^2c^2)
=α1p1+α2p2+α3p3+βmc
として、
α1、α2、α3、β
を求めて、一旦、α1、α2、α3、βを使用したディラック方程式を求めます。
更に、このディラック方程式に左からβ/ i を掛けて
γ行列を定義して、相対論的な自由場のディラック方程式
γi pi Ψ=mcΨ
を導出します。




ここで質問ですが、
E^2-c(p1^2+p2^2+p3^2)=m^2c^4
の式から、α1、α2、α3、βを使用したディラック方程式を導出せずに、
直接、γ行列を定義して、相対論的な自由場のディラック方程式
γi pi Ψ=mcΨ
を導出することは可能でしょうか?

Aベストアンサー

#1のconnykellyです。
補足に書かれた講義ノートは知りませんでした。確かにスマートな導き方ですね。教えていただいてありがとうございます。

>これと同様のものは無いでしょうか?

残念ながら見かけないです。上の講義ノートを参考にご自分で工夫されるのも一考かも知れませんね。


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