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答えと解き方を教えてください

∫cos3xsinxdx の求め方を教えてください。

ちなみに上端はπで 下端は6/πです。

お願いします。

A 回答 (5件)

♯2じゃなくて、♯1+♯3のようだが。

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#2です。



三角関数の積和公式より
cos(3x)sin(x)=(1/2)sin(4x)-(1/2)sin(2x)
なので

定積分=∫[π/6,π] cos(3x)sin(x)dx
=[-(1/8)cos(4x)+(1/4)cos(2x)] [x:π/6,π]
=-(1/8){1-cos(2π/3)}+(1/4){1-cos(π/3)}
=-(1/8){1+(1/2)}+(1/4){1-(1/2)}
= …
というように計算すればいいですね。

別解
3倍角の公式
cos(3x)=4(cos x)^3 -3cos x
を利用して
定積分=∫[π/6,π] cos(3x)sin(x)dx
 =∫[π/6,π] {-4(cos x)^3*(cos x)'dx-∫[π/6,π] {-3(cos x)*(cos x)'dx
= [-(cos x)^4] [x:π/6,π]+[(3/2)(cos x)^2] [x:π/6,π]

=-1/16
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cos の三倍角公式を使って、y = cos x で置換積分すると、



∫[π/6 から π まで] cos(3x) sin(x) dx
= ∫[(√3)/2 から -1 まで] (3y - 4y^3) dy

となります。多項式の積分は、できますか?
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「cos3x」は cos(3x) ですか? それとも (cos x)^3 (3乗) ですか?



後者なら、
∫(cos x)^3 *(-cos x)' dx =-(1/4)(cos x)^4 +C …(1)

>上端はπで 下端は6/πです。
下端は(π/6)では無いですか?

そうなら、定積分は
∫[π/6,π] (cos x)^3 *(-cos x)' dx =-(1/4)(cos π)^4 +(1/4)(cos(π/6))^4
=-(1/4)(-1)^4 +(1/4)(√3/2)^4
=-(1/4)+(1/4)(9/16)
=-7/64

この回答への補足

3はxの係数の3です。
なので三乗ではないです。

わかりにくくてすみません。。。


あと下端はπ/6であってました><



ミスすみませんでした。

補足日時:2011/04/20 22:28
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積--->和の公式を使って


∫cos3xsinxdx
=(1/2)∫(sin4x-sin2x)dx
=(1/2)[-(1/4)cos4x+(1/2)cos2x]
これにπ,π/6を代入してみてください
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Aベストアンサー

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