f:R^n→R^mを線型写像とする。a1・・・・ar∈R^nに対し、f(a1),・・・・f(ar)∈R^mが一次独立ならばa1,・・・・ar∈R^nが一次独立であることを示せ
の問題なのですがさっぱりわかりません

助けてください

A 回答 (2件)

{a_k}_{k=1~r}⊂R^n


{x_k}_{k=1~r}⊂R
Σ_{k=1~r}(x_k)(a_k)=0
とすると
fは線形写像だから
0=f(0)=f(Σ_{k=1~r}(x_k)(a_k))=Σ_{k=1~r}(x_k)f(a_k)
{f(a_k)}_{k=1~r}は一次独立だから
(x_k)_{k=1~r}=0

{a_k}_{k=1~r}は一次独立

一次独立の定義1)
{a_k}_{k=1~r}⊂R^n
が一次独立
←def→
{x_k}_{k=1~r}⊂R
Σ_{k=1~r}(x_k)(a_k)=0→(x_k)_{k=1~r}=0

一次独立の定義2)
{f(a_k)}_{k=1~r}⊂R^m
が一次独立
←def→
{x_k}_{k=1~r}⊂R
Σ_{k=1~r}(x_k)f(a_k)=0→(x_k)_{k=1~r}=0
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対偶を示すのが簡単かなぁ.

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