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No.2
- 回答日時:
問題として、いくつかの前提条件がぬけていますが、
適当に補うことにしましょう。
内積の計算をするのだと思います。
T=ω0/2πとして、
区間[-T/2,T/2]で関数f(t)とg(t)の内積を
(f,g)=(2/T)∫[-T/2,T/2]f(t)g(t)dt
と定義されているとしましょう。
I=(2/T)∫[-T/2,T/2]sin(mω0t)×cos(nω0t)dt
三角関数の加法定理を使って、
sin(mω0t)×cos(nω0t)=(1/2){sin((m+n)ω0t)+sin((m-n)ω0t)}
ですから、m,n>0として
I=(2/T)∫[-T/2,T/2]sin((m+n)ω0t)dt+(1/2)∫[-T/2,T/2]sin((m-n)ω0t)dt
=0
J=(2/T)∫[-T/2,T/2]sin(mω0t)×sin(nω0t)dt
これも加法定理を使って、
sin(mω0t)×sin(nω0t)=(1/2){cos((m-n)ω0t)-cos((m+n)ω0t)}
J=(2/T)(1/2){∫[-T/2,T/2]cos((m-n)ω0t)dt-∫[-T/2,T/2]cos((m+n)ω0t)dt}
m,n>0として、第2項はただちに0です。第1項はm≒nなら0です。
m=nのときには、
J=(1/T)∫[-T/2,T/2]cos((m-n)ω0t)dt=(1/T)∫[-T/2,T/2]1dt=T/T=1
このように内積の定義が、積分に係数(2/T)を掛けるようになっていれば、
あなたの問題の通りになります。(普通ではありませんが)
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