問1:円 x^2+y^2+2x-4y-4=0に直線y=2x+Kが交わって切り取られる線分の長さを最大値にするときのKの値を求めよ。

問2:円 x^2+y^2=1のy≧0の部分と次の直線との共有点の個数はaの値の変化によってどのように変わるか。
(1)y=2x+a
(2)y=ax+2


お願いいたします

A 回答 (4件)

おばさん、問2で、 “x^2+y^2=1のy≧0の部分”を考えてないんじゃないの?




それと、問1の回答はそのとおりなんだけど、そんな事が理解できる質問者なら、こんな質問はしないと思うよ。
ここは、orthodoxにやった方がいいんじゃないの。
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問1


>円 x^2+y^2+2x-4y-4=0
円の方程式の標準形に変形すると
(x+1)^2 +(y-2)^2 = 3^2
これは半径3,中心座標(-1,2)の円である。

>直線y=2x+K
が円と交わって切り取られる線分の長さを
最大値にするときは、直線が円の中心(-1,2)を通るときであるから
この中心座標が直線上にある条件から
2=2*(-1)+K
∴K=4
このとき切り取られる線分の長さは、円の最大弦の長さの直径の
3*2 = 6 となります。

問2
グラフを描くこと。
(1)y=2x+aはy切片がa、傾きが2の直線です(aを変えると上下に平行移動する)。
この直線が
与えられた、原点を中心とする上半分の半円と
交わる(接する)条件から共有点の個数が求まります。

■上半分の円と接するとき:共有点は1つ
y=2x+aを円の方程式に代入した
 x^2+(2x+a)^2=1 (a>0)
つまり
 5x^2+4ax+a^2-1=0…(A)
が重解をもつことから
 判別式D/4=4a^2-5(a^2 -1)=5-a^2=0
a>0より、a=√5
このとき共有点(x,y)は、(A)から x=-2√5/5, y=-4√5/5+√5 = √5/5

■上半分の円と2点で交わるとき:共有点は2つ
直線が上半分の半円と2点で交わることから、直線のy切片a=
√5と「(0,-1)を通る直線のy切片の間のa」の範囲にあるときである。
0=2(-1)+a から a=2なので
∴ 2≦a<√5
このとき2つの共有点(x,y)は x={-2a±√(5-a^2)}/5,y={a±2√(5-a^2}/5

■上半分の円と1点で交わるとき:共有点は1つ
直線が上半分の半円と1点で交わることから、直線のy切片a=2と「(0,1)を通る直線のy切片の間のa」の範囲にあるときである。
0=2*1+a から a=-2なので
∴ -2≦a<2
このとき1つの共有点(x,y)は x={-2a+√(5-a^2)}/5,y={a+2√(5-a^2}/5

■上半分の円と直線が交わらないとき:共有点は無し
上の3つのケースのaの範囲を除いたaの範囲

 ∴-2<a, √5<a

となる。

(2)
(1)と同様に出来ますのでやってみて下さい。
分からなければ、やった解答の過程を補足に書いた上で分からない所を質問してください。
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失礼しました・・y≧0の部分見落としてました円の上半分の範囲のみでした


(1)の場合は
半円左端に直線が接するx=-1の時x^2+(2x+a)^2-1=0
に代入してa^2-4a+4=0
(a-2)^2=0
2≦a<√5の時共有点2個
半円右端が接するx=1の時a^2+4a+4=0
(a+2)^2=0
a=√5,-2<a≦2の時共有点1個
√5<a,-2<aの時共有点なし

(2)はこれから出かけますので失礼します・・
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問1 円の方程式x^+y^2+2x-4y-4=0は(x+1)^2+(y-2)^2=9になるので


円の中心(-1,2)半径3の円、線分(弦)の長さが最大になるのは円の直径のときなので
直線2x-y+k=0と中心との距離d=|2×(-1)+(-1)×2+k|/√(2^2+1^2)=|-4+k|/√5
このdが0の時最大になります
よって-4+k=0
k=4

問2 円x^2+y^2=1より
(1)y=2x+aを円の式に代入
x^2+(2x+a)^2-1=0
5x^2+4ax+a^2-1=0
これの判別式
D>0の時2点を共有
D=0の時1点を共有(接する)
D<0の時共有点を持たない
より
D=16a^2-20(a^2-1)
=-4a^2+20
となるので
D=-4a^2+20>0の時
a^2-20<0
すなわち-√5<a<√5の時共有点2個
D=-4a^2+20=0
a=±√5の時共有点1個
D=-4a^2+20<0
a^2-5>0
a<-√5,√5<aの時共有点なし

(2)同じようにy=ax+2を円の式に代入
x^2+(ax+2)^2-1=0
(a^2+1)x^2+4ax+3=0
D=16a^2-12(a^2+1)=4a^2-12>0の時
すなわちa^2-3>0
-√3<a,√3<aの時共有点2個
D=4a^2-12=0
a=±√3の時共有点1個
D=4a^2-12<0
-√3<a<√3の時共有点なし

計算はあっているかどうかわかりませんので確認してやってください
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