(整列可能定理)
Aを任意の集合とするとき、Aに適当な順序≦を定義して、(A,≦)を整列集合とすることができる。

(順序)
1.Aのすべての元aに対してaOa
2.Aの元a,bに対し
  aOb, bOa, ⇒ a=b
3.Aの元a,b,cに対し
  aOb, bOc, ⇒ aOc

の3つを満たすとき、OをAにおける順序という。

と、松阪先生の集合・位相入門に記載されています。
整列可能定理についてWebで検索しているときに、「開区間(0,1)のような連続体濃度card(R)を持つ集合については具体的な順序のイメージを得るのは不可能」のような事が随所に書かれていました。
その話を友人としていたところ、

 「開区間(0,1)について、1/2からの距離の大小について順序を決めれば全順序となり整列集合になるんじゃないの?」

と言われました。
これだと、例えば相違なる2元0.25と0.75は同じとなりますが、上の順序の定義に立ち返ってみてもこれは問題なく、開区間(0,1)のすべての元が見事整列しているように思えます。

すると、Webで見た「具体的な順序のイメージを得るのは不可能」という意見と整合性がとれず悩んでしまいました。
なにかこの順序の入れ方に間違いがありますでしょうか?
ご指摘いただけますようお願い致します。

A 回答 (1件)

整列集合と順序集合を混同していませんか。



整列集合には、任意の部分集合に必ず最小元があります。

1/2からの距離の大小を順序と定めたとき、このことが言えますか?
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この回答へのお礼

なるほど!
ありがとうございます!
整列集合は「任意の部分集合に必ず最小元がある」ということを見落としていました。
確かに、部分集合として例えば(0.2,0.4)を取ると最小限が存在しませんね。

よくわかりました!
ありがとうございました!

お礼日時:2011/04/22 08:59

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Q英語を英語のまま理解するとは?それは必要/可能なのか?

こんにちは。
以前から気になっていることについて質問させていただきます。

今日の英語教育では「英語を英語のまま理解する」ことが重視されていると思います。
実際、私も高校生の時(もう何年も前のことですが……)英語教師からこのように教わりました。
ですが、本当にそんなことは可能なのでしょうか?
(ここでは「英語を英語のまま理解できる状態」を「英語の読書聴話の際、全ての思考が英語で行われ、一切の日本語が介在しない状態」とします。)

まず、そもそも「英語を英語のまま理解する」ことを勧める教師も自分ではおそらくできていないのではないかと思います。
もしできていたとすれば、読んだ内容を英語で自在にパラフレーズしたり、あらゆる文法事項を英語で説明したりできるはずですが、そんなことをしている教員の話は聞いたことがありません。

次に、学習者の英語力の問題があります。
ノンネイティブとして及第点と思われる英検1級であるとかTOEIC 900点台後半といったレベルは、英語話者で言えば小学校高学年程度の言語運用能力と聞きます。
その程度の能力で日本語を介在させず、英語だけで考えるのは心もとないはずです。
ましてや大学受験生やその他多くの英語学習者のレベルはこれにはるかに及ばないわけで、そうすると「小説・大人向けのニュース・マニュアル・科学論文を読み、議論する」といった多くの日本人が英語を使うと思われる状況において、母語の手助けが必要になると思います。

学習者が英語を英語のまま理解することは必要なのか、そもそも可能なのか。
皆様のご意見を聞かせてもらえますでしょうか。

こんにちは。
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今日の英語教育では「英語を英語のまま理解する」ことが重視されていると思います。
実際、私も高校生の時(もう何年も前のことですが……)英語教師からこのように教わりました。
ですが、本当にそんなことは可能なのでしょうか?
(ここでは「英語を英語のまま理解できる状態」を「英語の読書聴話の際、全ての思考が英語で行われ、一切の日本語が介在しない状態」とします。)

まず、そもそも「英語を英語のまま理解する」こ...続きを読む

Aベストアンサー

まず、日本で国語力として小学校6年生(学校教育法の指導基準を全て理解している場合)程度の理解力があれば、普通の学問は充分に理解出来ると思います。
英語の場合、小学校(プライマリースクール)の高学年で、どの程度の語学力があるかはわかりませんが、日本の国語教育と大差なければ、普通の文書は読解できると考えて間違いないです。
また、TOEIC900点が取れる読解力があれば、普通の学問は専門用語などを辞書で補えば理解できるでしょう。(辞書は英英や英語の専門用語辞典でかまいません)
ただ、日本の英語教育の目的が英語を英語で理解する事を求めているとは思えません。
もし、そうならば、和訳などの問題は不要だからです。
問題文も英語にして、英語の穴埋め問題にするか、長文を短文に直すなどの試験にすれば良いだけです。
つまり、英語を母国語としている国の教科書をそのまま使えば良いんです。
ちなみに、小説はよほどの事が無い限り、読めますよ。(表現が難しいものは理解が難しい場合もありますが、大衆小説レベルであれば、それほど凝った表現は無いです)
英文をそのまま理解すると言うか、そのまま読み進んで、いちいち日本語に変換する必要は無いです。
日本語の文に直していると、日本語の小説を読むようなスピードでは読めません。
英語のネイティブスピーカーがどのように英文を理解しているかはわかりませんが、意味はわかるわけですから、英文で説明する事も可能でしょう。
むしろ、日本語で説明する方が難しいです。
長期間英語しか使えない環境にいれば、自然と英語のまま理解するようになるのではないでしょうか?
逆に、英語のネイティブスピーカーでも、日本語しか使えない環境に長期間いると、自然に日本語のまま理解するようになるみたいです。
完全なネイティブと同じレベルになるかはわかりませんが、普通に会話出来るレベルだと、そのようになるようです。
英語のネイティブスピーカーで、長期間日本にいた人が母国に帰った時に、友人と会話していて、相手が突然きょとんとした顔をした時があったそうです。
何故なら、その時日本語でしゃべっていたからです。
極端な専門領域の場合は、語学力と言うよりは、専門知識が必要なだけで、逆にそのような場合は、日本語でも理解出来ないでしょう。
お互いが共通の知識がある場合は、それを繋ぐ言語があれば、コミュニケーションが取れます。
それは、会話でなくても、文章でも可能なわけです。
以前、台湾のコンピューター技術者とコンピューターの設定に関してコミュニケーションを取る必要がありました。
現地技術者は、英語がしゃべれず、北京語しかできませんでした。
この場合は、会話ではコミュニケーションが取れません。
実際には、ホワイトボードで、相手が理解出来る英文を書いてコミュニケーションを取れました。
この場合は、お互いに知識はあるのですが、会話できなかっただけです。
知識はありますから、英文を書けば相手は理解できたわけです。
PC関係は、ほとんど英語の用語なので出来た事です。
ネイティブスピーカーの速度で会話する為には、ある程度はその言語で思考しないと難しいでしょう。
いちいち、母国語に直していたら、会話がゆっくりになります。
求めている語学力が、普通の速度で会話出来る事ならば、その言語で思考するというか、反応出来る能力が必要です。
ただ、極端に難しい表現をした場合は、母国語同士の会話であっても理解出来ない場合もあります。
普通の会話では、そのような場合は、何回も確認をしているはずです。(言語的に冗長な会話になっているはずです)
英語と日本語では、語順の違いがあるので、思考形式に多少の差異はあると思いますが、意味のある文章であれば、5W1Hは満たしているはずです。
特殊な慣用表現を除けば、英文をその流れのまま理解する事は可能だと思います。(この場合は英文の単語はそのまま理解する事になり、日本語にはしません)
ただ、それを日本人に説明する為には、相手がわかるレベルまで日本語に直さなければいけません。
英語圏で英語を使うだけならば、英語だけで理解出来れば足ります。
日本で、英語を使う場合は、日本語しかわからない人にも説明出来なければいけません。
日本が求めているのは、本質的には日本語と英語を両方理解出来る人材だと思いますけどね。
実は、それは結構難しいです。

まず、日本で国語力として小学校6年生(学校教育法の指導基準を全て理解している場合)程度の理解力があれば、普通の学問は充分に理解出来ると思います。
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また、TOEIC900点が取れる読解力があれば、普通の学問は専門用語などを辞書で補えば理解できるでしょう。(辞書は英英や英語の専門用語辞典でかまいません)
ただ、日本...続きを読む

Q整列集合を添数集合とする任意の互いに素な整列集合の族も整列?

下記の問題(2)で質問なのですが…

(1) Let A_1 and A_2 be disjoint sets, well-ordered by <' and <", respectively. Define an order relation on A_1∪A_2 by letting a<b either if a,b∈A_1 and a<' b,or if a,b∈A_2 and a <" b,or if a∈A_1 and b∈A_2.Show that this is a well-ordering.
(2) Generalize (1) to an arbitrary family of disjoint well-ordered sets, indexed by a well-ordered set.

「(1) A_1とA_2を整列集合で互いに素とする。それぞれの順序<'と<"とする。
A_1∪A_2の順序<をa,b∈A_1∪A_2がa∈A_1,b∈A_2の時,a<bとし,a,b∈A_1ならa<bはa<'bの意味とし,a,b∈A_2ならa<bはa<"bの意味とする。この時、A_1∪A_2は整列となる事を示せ。
(2) (1)を整列集合を添数集合とする任意の互いに素な整列集合の族に一般化せよ。」

[(1)の証明]
∀B⊂A_1∪A_2に対し,B⊂A_iなら∃minB(∵A_iは整列) (i=1,2)
B∩A_1≠φ且つB∩A_2≠φならば∃minB∩A_1,∃minB∩A_2なので
minB:=min{minB∩A_1,minB∩A_2}と採ればよい。

で大丈夫かと思います。

[(2)の証明]
整列な添数集合をNとしA_i(i∈N)の順序を <_i とすると
B∩A_i≠φ(i∈N)の時,集合{minB∩A_1,minB∩A_2,…}には最小元があるとは限りませんよね。

(2)はどのようにして示せばいいのでしょうか?

下記の問題(2)で質問なのですが…

(1) Let A_1 and A_2 be disjoint sets, well-ordered by <' and <", respectively. Define an order relation on A_1∪A_2 by letting a<b either if a,b∈A_1 and a<' b,or if a,b∈A_2 and a <" b,or if a∈A_1 and b∈A_2.Show that this is a well-ordering.
(2) Generalize (1) to an arbitrary family of disjoint well-ordered sets, indexed by a well-ordered set.

「(1) A_1とA_2を整列集合で互いに素とする。それぞれの順序<'と<"とする。
A_1∪A_2の順序<をa,b∈A_1...続きを読む

Aベストアンサー

(1)
> B∩A_1≠φ且つB∩A_2≠φならば∃minB∩A_1,∃minB∩A_2なので
> minB:=min{minB∩A_1,minB∩A_2}と採ればよい。
この辺は冗長じゃない? B∩A_1≠φならminB:=min(B∩A_1) で良いでしょ?

(2)
添数集合Nの部分集合I={i∈N:B∩A_i≠φ}を考えると、Nは整列なのでminIがある。
minB:=min(B∩A_minI)
で良いでしょう。

Q20代前半で英語を話せるようになれば、外国で就職することは可能なんでし

20代前半で英語を話せるようになれば、外国で就職することは可能なんでしょうか?
自分が就職したい国は一応いまはオーストラリアを候補にあげてます。いま21で英語はまだ話せませんが、数年後に話せるようになったと仮定していただきたいです。

ビジネスで通用するほど英語力というのではなく、日常会話が問題なければ、現地の就職先はみつかりますか?

Aベストアンサー

難しいですよ。
日本でカタコトの日本語を話せるアジア系の人たちがどのような仕事についてるか
ご存知でしょう???


もし本気で望むなら、
(1)ギャングのような非営利するか、
(2)服屋やコックのような国が関係ない仕事をするか、
(3)医師やエンジニアのような専門技術を使うか、です。

一般に「移民」と呼ばれる人たちは(1)(2)で始めて
子ども代で(3)をやります。

Q全順序集合Aが整列集合でない⇔Z(-)⊂A

次の問題を解いているのですが…。
よろしくお願い致します。(i)の必要性の証明で困ってます。

[[問] 次の(i),(ii)を証明せよ。Z(-)を負整数全体の集合とする。
(i) 全順序集合Aが整列集合でない⇔Z(-)⊂A.
(ii) Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは整列集合

[(i)の証]
十分性を示す。
A=Z(-)と採れば{2z;z∈Z(-)}⊂Aでしかもこの部分集合は最小値を持たない。
よってAは全順序だが整列集合とならない。
必要性を示す。
∃B⊂A;minBが存在しない。その時,Z(-)⊂Aを言えばいいのですがどうすればいえますでしょうか?

[(ii)の証]
対偶「Aは整列集合でないならば(Aは全順序集合でない∨(∃B⊂A;Bは可算だが非整列))」となる。
もし,Aが非整列ならAは全順序ではない場合もありうる。
もし,Aが非整列だがAは全順序の場合,∃B⊂A;(Bは可算∧minBが存在しない)でなければならない。これは,(i)の必要性よりZ(-)⊂A (Z(-)は可算)と言えるのでB:=Z(-)と採ればよい。
この時,B非整列なので(∵最小値を持たないBの部分集合としてBを採ればよい)
Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは整列集合
が示せた。となったのですがこれで正しいでしょうか?

次の問題を解いているのですが…。
よろしくお願い致します。(i)の必要性の証明で困ってます。

[[問] 次の(i),(ii)を証明せよ。Z(-)を負整数全体の集合とする。
(i) 全順序集合Aが整列集合でない⇔Z(-)⊂A.
(ii) Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは整列集合

[(i)の証]
十分性を示す。
A=Z(-)と採れば{2z;z∈Z(-)}⊂Aでしかもこの部分集合は最小値を持たない。
よってAは全順序だが整列集合とならない。
必要性を示す。
∃B⊂A;minBが存在しない。その時,Z(-)⊂Aを言えばいいのですがど...続きを読む

Aベストアンサー

>(P⇒Q)=trueを示す代わりに¬(P⇒Q)=falseを示すが背理法でしたね。
>P⇒Qの定義は(¬P)∨Qなので¬(P⇒Q)はP∧¬Qですね。
>だから(Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合)∧(Aは非整列集合)
>が偽になる事を言えばいいのですね。

そゆこと。

>(1)の必要性の証明
>minBが存在しないB(⊂A)がある。そこで{b_n}⊂B,b_n>b_(n+1)なる列が採れる。
Z(-)∋∀z|→f(z):=b_-zと順序同型写像が採れるのでZ(-)と{b_n}は順序同型。
よってZ(-)⊂A.

分かってますね。okok。

要するに、「整列である」=「無限降下列を含まない」
がいえるということですね。

ではさようなら。

QOffice xp 英語版を日本語表記にするのは可能でしょうか?

私は今、Office xp英語版を使っています。
日本語入力はできるのですが、メニューが英語で使いにくくて困っています。
メニューを日本語表記に変えることは可能でしょうか。
教えて下さい、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

マイクロソフトのサイトの参考になるであろうページです。
http://www.microsoft.com/japan/office/previous/xp/evaluation/indepth/multilingual/default.mspx

手に入るかどうか分かりませんが、何かを買わないとダメそうです。

私も英語版好きで、WinXp英語版+Office2007英語版使いますけど、メニュー等は全て英語のままです。その方が、カコイイので(笑。
でわ!

Q1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1⇔0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1?

aはa≧5をみたす定数として、
1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1と
0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1
は同値でしょうか?
1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1⇒0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1も
0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1⇒1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1も真なので同値だと思うのですが。

Aベストアンサー

前半)
> aはa≧5をみたす定数として、
この↑条件下では同値ですね。

後半も
>> aはa≧5をみたす定数として、
この↑条件下では同値ですね。

Q西南学院大学文学部外国語学科英語専攻ビジネス英語部門でも教員免許は取得可能ですか?

西南学院大学文学部外国語学科英語専攻ビジネス英語部門でも教員免許は取得可能ですか?

Aベストアンサー

卒業後の進路先の項目をご覧下さい。

http://www.seinan-gu.ac.jp/faculty_graduate/literature/english.html

Q全順序集合ではあるが整列集合ではない集合って…?

こんにちは。

整列集合の定義は、全順序集合の中で、その部分集合が必ず最小限を持つもの

でした。
ところでわざわざ全順序集合と整列集合をわけるということは、全順序集合の中でも整列集合じゃないものがあるってことですよね?
しかしその部分集合が最小限を持たないような全順序集合ってどんなものなのでしょうか?
直観的にはよくわかりません…

お願いします!

Aベストアンサー

<最小元の変換ミスでしょう

たとえば整数全体に通常の順序を入れれば全順序集合ですが整列集合ではありません.部分集合として自身をとれば最小元がないのは明らかでしょう.

Q都内のインターナショナルスクールで3歳から入学可能で親が英語が話せなく

都内のインターナショナルスクールで3歳から入学可能で親が英語が話せなくても大丈夫なところってありますか?

Aベストアンサー

アオバはOKです。ほかのインターについてはわかりませんが。だってうちの両親も英語話しません。

Q4≦a≦9、4≦b≦9を満たす整数a、b

b^3-aと3b^3+a^4-a^2-2aの最大公約数が5であるならばa=b=5、またはa=?、b=?である

という問題で全く解法が思い浮かばないのでヒントだけでも教えてください!ちなみにヒントを聞いてもつまったりしてまた補足質問するかもしれないです!

Aベストアンサー

mとnが分からないのに5の倍数になるaが分かるんでしょうか?
>a^4-a^2+a=5(m-3n)
右辺が5の整数倍ですから
aに4、6、7、8、9を順に入れて計算して
左辺が5の整数倍になれば、それがaです。


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