次の円と直線によって切り取られる線分の長さと中点の座標を求めよ。

問1:2x-y-1=0
x^2+y^2-2x-2y=0



お願いいたします

A 回答 (3件)

直線を y = 2x-1 に変形して


円の式 x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0 へ代入すると、
交点の x 座標を解に持つ二次方程式が現われる。
方程式を解けば、線分の両端が判って
直線の傾きから線分の長さが求まる。
また、中点の x 座標を得ることができるので、
それを直線の式へ代入すれば、交点が求まる。
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円の方程式


x^2+y^2-2x-2y=0
(x-1)^2-1+(y-1)^2-1=0
(x-1)^2+(y-1)^2=2に変形
中心C(1,1)半径√2
直線2x-y-1=0は円の中心(1,1)を通るので
線分の長さは円の直径になります
2√2
中点は円の中心(1,1)
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(X-1)^2 +(y-1)^2=2


中心が(1,1)  半径√2   
直線は中心とおるので線分=直径  2√2  中点は(1,1)

円の問題何年かぶりで自信ないけど
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Q英語フォントで中点の書き方

word2000を使って科学論文を書いているのですが,
単位などを書くときに使う・(中点)の外国でも使えるフォントでの書き方が分かりません.
今は,日本語のフォントでキーボードの?マークのキーを押して書いているのですが,(例[J/m・s・K])
これだと半角にしても左右の間隔が大きいという問題と,
外国に提出した時には文字化けして読めなくなってしまうという問題が
起きてしまいます.
なんとか世界共通のフォントで・を書けないでしょうか?
よろしくお願いします.

Aベストアンサー

こんにちは。#1,#3 を書いたWendy02です。

>Altキーを押したまま,0183と順番に押しても何もでませんでした.
見えにくいけれども、ズーム200%にしたら、見えます。(私のほうでは確認しました。)

Q数学Ⅱ 円と直線問、円C: x∧2+y∧2-4x-2y+3=0直線l: y=-x+k が異

数学Ⅱ 円と直線

問、円C: x∧2+y∧2-4x-2y+3=0
直線l: y=-x+k が異なる2点で交わるkの範囲は
「1〈k〈5」
また、lがCによって切り取られる線分の長さが2であるとき、定数kの値を求めよ。

解答、Cの中心をC,
Cとl の2つの交点をA, B,
線分ABの中点をM とする。

CM=√AC∧2-AM∧2=1

よって |k-3|/√2 =1

k=3±√2 。。

|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

Aベストアンサー

|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

これは、《 点と直線の距離の公式 》 を使っています。


点A(x₁,y₁) と 直線 ax+by+c=0 との距離dは

d=│ax₁+by₁+c│/√(a^2+b^2)

です。

x∧2+y∧2-4x-2y+3=0
(x-2)^2+(y-1)^2=2
より、円Cの中心は、点(2,1) です。
直線l を式変形して、
-x-y+k=0
となり、
これで、点(2,1) と直線 -x-y+k=0 との距離dは、
d=│-2-1+k│/√{(-1)^2+(-1)^2}=│k-3│/√2 ・・・・・①
になります。

また、Cの中心をC,
Cとl の2つの交点をA, B,
線分ABの中点をM とする。
と、
三角形CAMは、∠CMA=90° の直角三角形だから、三平方の定理より
CM=√AC∧2-AM∧2=1 ・・・・・②
になります。

d=CM なので、 ① と ② より
│k-3│/√2=1
になります。

QAutoCAD LT 2007での中点スナップについて

線分ABと線分CDが交点Pにて交差しています(×のように)。
点Pと点Aと結んだ線分PAの中点を取りたいのですが、
中点スナップですと、線分ABの中点と線分CDの中点しか
スナップしてくれません。
そういった場合、仕方がないので、既存線上に線分PAを
上書きしてから中点スナップさせから目的の線分を引く等して
最後に不要になった線分PAを削除するといったような
操作をしています。
こういった操作がとても多いので、何か方法があれば教えて下さい。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

2007には2点間の中点スナップが標準であるはずですが?

Q円を直線で切り取った線分の長さの最小について

どうしても納得でき無ないのでお聞かせください。

問) 円C:(x-2)^2+(y-4)^2=9と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある。

1)lがkの値に関係なく通る定点Pを求めよ。
2)lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値を求めよ。

解答)
1)l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0をkについて整理すると、
2x+y-12+k(x-2y+9)
これを解くとx=3,y=6
よってP(3,6)

2)円の中心はQ(2,4)
l上の定点PがCの内部にあるから、lとQの距離をdとおくと、
d≦PQ(一定)が成り立つ。
PQ垂直lとなるkが存在すれば、dの最大値はPQであり、Lの最小値は2√(3^2-PQ^2)-----(2)
PQ垂直lのとき、2*[(k+2)/(2k-1)]=-1より k=-3/4

よって、PQ垂直lとなるkが存在し、このとき
d^2=PQ^2=5であるから(2)の値はL=4

疑問)
とあるのですが、
勝手にd≦PQとし、PQ垂直lのときd=PQでdの最大としてしまう理由が分かりません。
垂直でd=PQの理屈は分かるのですが、勝手にd≦PQとし「PQの時にdが最大だ~」としてしまってよいのでしょうか?
例えば、任意にRを円の内側のl上に設定すれば、PQより大となるd≦RQが存在する気がしてなりません。

どうしても納得でき無ないのでお聞かせください。

問) 円C:(x-2)^2+(y-4)^2=9と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある。

1)lがkの値に関係なく通る定点Pを求めよ。
2)lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値を求めよ。

解答)
1)l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0をkについて整理すると、
2x+y-12+k(x-2y+9)
これを解くとx=3,y=6
よってP(3,6)

2)円の中心はQ(2,4)
l上の定点PがCの内部にあるから、lとQの距離をdとおくと、
d≦PQ(一定)が成り立つ。
PQ垂直lとなるkが存在...続きを読む

Aベストアンサー

回答申し上げます。

確かに感覚的には勝手にd≦PQとしたくなっちゃう方もいれば、
それに違和感を覚える方もいらっしゃるのかと思います。

点Qから直線lに垂線を引いて交わった点をP’とします。
このときQP’=d になりますよね。(点と直線の距離の定義)
さて、PP’=d’としてみると
三角形QPP’は直角三角形ですから、
(QP’)^2+(PP’)^2=(QP)^2 となります。
つまり
d^2+d’^2=(QP)^2 (=一定)
dもd’も距離ですからd≧0、d’≧0
よって、
d^2≦d^2+d’^2=(QP)^2 ですから
d^2≦(QP)^2

d≦QP
となります。

では、d=QPとなるときは、d’=0 のときですから、
つまりPP’=0 のときです。
点Pは固定されていますから、PP’=0 というのは、
点P’=点Pのときとわかります。
これはQP⊥直線l のときになりますよね。

以上が理由になります。
これを図形で考えると上記を省略しても良いと考える人がいらっしゃるということでしょう。
しかし、図がないとここまで書かないとちょっと説明不足な感がありますよね。

参考になれば幸いです。

回答申し上げます。

確かに感覚的には勝手にd≦PQとしたくなっちゃう方もいれば、
それに違和感を覚える方もいらっしゃるのかと思います。

点Qから直線lに垂線を引いて交わった点をP’とします。
このときQP’=d になりますよね。(点と直線の距離の定義)
さて、PP’=d’としてみると
三角形QPP’は直角三角形ですから、
(QP’)^2+(PP’)^2=(QP)^2 となります。
つまり
d^2+d’^2=(QP)^2 (=一定)
dもd’も距離ですからd≧0、d’≧0
よって、
d^2≦d^2+d’^2=(QP)^...続きを読む

Q「中点を結ぶと平行になる」の証明

三角形では、2辺の中点どうしを結ぶと、もう1辺と平行になります。これは中点連結定理ですが。
さて台形の平行でない対辺の中点を結ぶと、やはり他の対辺と平行になります。その証明は、こうやってみました。概要です。

台形ABCD(AD//BC)で、ABとDCを延長し、交点をPとする。
ABの中点をM、DCの中点をNとする。
ここでPM:PB=PN:PCを証明し、だから平行。

ところが、2組の辺の比が等しいことをバタバタと示すのは、たいへんでした。もっとスマートな(楽な)証明はないかと思っています。中学校2年生段階での証明をどなたか教えてください。
CDを平行移動してMとNが重なるようにするような、そういう証明でしょうか。他の証明はありますか。

Aベストアンサー

対角線AC の中点をPとし、直線MPとC Dの交点
をQとする。
△ABCで中点連結定理より、MP//BC
よって、MQ//BC・・・☆
△C PQ∽△C ADで、C P=PAなのでC Q=QD
したがって、QはC Dの中点、つまりNである。
☆より、MN//BC

というのは?

Qやっぱりナゾの「円を直線で切り取った線分の長さの最小」

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4122115.html
こちらで皆様から親切な回答をいただいたにもかかわらず、まだ分からないです・・・

問) 円C:(x-2)^2+(y-4)^2=9と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある。

1)lがkの値に関係なく通る定点Pを求めよ。
2)lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値を求めよ。

解答)
1)l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0をkについて整理すると、
2x+y-12+k(x-2y+9)
これを解くとx=3,y=6
よってP(3,6)

2)円の中心はQ(2,4)
l上の定点PがCの内部にあるから、lとQの距離をdとおくと、
d≦PQ(一定)が成り立つ。
PQ垂直lとなるkが存在すれば、dの最大値はPQであり、Lの最小値は2√(3^2-PQ^2)-----(2)
PQ垂直lのとき、2*[(k+2)/(2k-1)]=-1より k=-3/4

よって、PQ垂直lとなるkが存在し、このとき
d^2=PQ^2=5であるから(2)の値はL=4


皆様からご教授頂き、図に描いてみたりしてそれとなく理解はできたのですが、やっぱりPQ垂直lのときdが最大となるのはナゾです・・・

疑問の一つは、(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)はkによって自由に動きますよね?でしたら、PQ垂直l以外の時、例えばRQ垂直lの時に最大になるときがあるかもしれないと思うのです。

Qからlへの垂線を引いた点をP’とし、距離P’Qをdとすると、「d≦PQ」→「垂直の線分≦斜めになっている線分」と言いたいのは分かるのですが、
わざわざ定点Pを使って、P’=Pの時、つまりPQ垂直lの時に最大にしてしまうのは、よく分からないのです・・・
例えば、Pよりもう少し横に行って離れた(遠い)Rがあれば、P’=Rの時、つまりRQ垂直lというRがあればそれが最大となるのではないのでしょうか?


頭悪くて、本当に申し訳ないです・・・>_<、

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4122115.html
こちらで皆様から親切な回答をいただいたにもかかわらず、まだ分からないです・・・

問) 円C:(x-2)^2+(y-4)^2=9と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある。

1)lがkの値に関係なく通る定点Pを求めよ。
2)lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値を求めよ。

解答)
1)l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0をkについて整理すると、
2x+y-12+k(x-2y+9)
これを解くとx=3,y=6
よってP(3,6)

2)円の中心はQ(2,4)
l上の定点PがCの内部にあるか...続きを読む

Aベストアンサー

lが円内の定点Pと円の中心Qを通る時、lが円Cに切り取られる線分(弦)は直径になりますから、線分長(弦)は最大になります。この時はd=0(lが円の中心Qを通るため)

線分lを直径の位置(lとPQが重なる位置)から回転して行くと、切り取られる線分長(弦)は直径から徐々に減少し、l⊥PQの位置で切り取られる線分(弦)の長さが最小になり、その位置を過ぎると切り取られる線分長(弦)が回転とともに増加して行き、再度lとPQが重なり、線分長(弦)は直径に戻ります。

以上から
線分長(弦)が最小になる時は、l⊥PQの時になります。
お分かりですか?

弦(lが切り取られる線分長)が最小の時、弦と円の距離dが最大になることはお分かりですね。

弦が最小の時がPQ⊥lの時ですから
これ以外の位置のPを通る弦は、必ずPQ⊥lの時より長くなります。
弦が長くなればdが短くなります。
お分かりですか?

従って、弦が最小になる、PQ⊥lの位置で、dが最大になるといえるのです。

まだお分かりでなければ
繰り返し読んでいただけば理解できると思います。

lが円内の定点Pと円の中心Qを通る時、lが円Cに切り取られる線分(弦)は直径になりますから、線分長(弦)は最大になります。この時はd=0(lが円の中心Qを通るため)

線分lを直径の位置(lとPQが重なる位置)から回転して行くと、切り取られる線分長(弦)は直径から徐々に減少し、l⊥PQの位置で切り取られる線分(弦)の長さが最小になり、その位置を過ぎると切り取られる線分長(弦)が回転とともに増加して行き、再度lとPQが重なり、線分長(弦)は直径に戻ります。

以上から
線分長(弦)が最小になる時は、...続きを読む

Q四角形ABCDで、AD、BCの中点をそれぞれP、Qとし、また対角線AC、BDの中点をそれぞれR、Sと

四角形ABCDで、AD、BCの中点をそれぞれP、Qとし、また対角線AC、BDの中点をそれぞれR、Sとするとき、四角形PSQRは平行四辺形になることを証明せよ。

Aベストアンサー

たぶん、中学の幾何の問題ですよね?

△ACDにおいてRP//CDかつRP=1/2CD(中点連結定理)……①
△BCDにおいてQS//CDかつQS=1/2CD(中点連結定理)……②
①、②よりQS//RPかつQS=RP……③
③より向かい合う2辺が平行で長さが等しいので、四角形PSQRは平行四辺形であると分かります。
(証明終わり)

No.2の方が、四角形PSQRの向かい合う2組の辺が平行であることを指摘していらしたので、こちらは別解として向かい合う1組の辺が平行で長さが等しいことからの証明にしてみました。

Q直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限らないので、
結果
2t+3s=0 t-4s=-11となり、
t=-3、s=2となりました。
交点は(x、y)=(3.1)となりました(答)

問題2は
(1)の方向ベクトルと(2)の方向ベクトルがどのようにしたら求めてよいのか解らないのでとけませんでした。 いままで学んだ内容だと、二点P1(-1,3),P2(2,-1)をとおる媒介変数tを表せという問題をといてきて、
単純にp1p2=(x-x1,y-y1) をやって方向ベクトルをもとめ、x=x1+tl,y=y1+tmの公式にしたがってx=-1+3t,y=3-4tと方向ベクトルを求めていたのですけど、
今回はx-x1にあたる部分が題意を読んで何処なのかわかりませんでした。

題意のx=-3-2t、y=4+t (1)と(2)の式からx1の部分をー3、y1の部分を4とみるのでしょうか?
そうすると、x-x1、y-y1のx1とy1の部分はわかるのですけど、xとyが解らないので、引き算ができず、方向ベクトルが求まりませんでした。

答えをみるとl→=(-2,1)(1) m→=(-3、-4)(2)となってました。どうやったらこのように求まるのでしょうか?

問題3は手が付けられませんでした>_<

だれかこの問題詳しく教えてください、宜しくおねがいします!!>_<

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限...続きを読む

Aベストアンサー

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=(-2*3+1*4)/√(4+1)・√(9+16)
=(-2)/(5√5)
=(-2√5)/25

となります。cosがマイナスなので、θは90°よりも大きいことが判ります。今、0≦θ≦90°なので、求めたい値は、

cos(180°-θ)
=-cosθ
=2√5/25

となります。

答の中で、(2)の方向ベクトルを(-3,-4)としているのは、最初から0≦θ≦90°を考慮しているためです。

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=...続きを読む

Q3次元空間上の2点を結ぶ線分の中点を知りたい

3次元空間上の点A(x1, y1, z1)と点B(x2, y2 z2)を結んで出来る線分の中点を知りたいのですが、
完全な文系出身であまり数学に詳しくないため、公式の見方がよくわかりません。

Wikipediaの中点のページにあるn次元ユークリッド空間上の中点の公式がそれのようですが、
「n 次元ユークリッド空間上の2点 A, B を直交座標系であらわし、それぞれを (a0, ..., an-1), (b0, ..., bn-1) とすると」
の時点ですでに理解できないので、単純な公式で教えて下さると助かります。

Aベストアンサー

中点座標を(x3,y3,z3)とすると
x3=(x1+x2)/2
y3=(y1+y2)/2
z3=(z1+z2)/2

Q放物線y=x² /円x²+(y-5/4)²=1 の共有点の座標を求めるためx²を消去するとき、yはx

放物線y=x² /円x²+(y-5/4)²=1 の共有点の座標を求めるためx²を消去するとき、yはx²の範囲で、0<y,y=0という事を最初に求める必要がありますか?

Aベストアンサー

初めにグラフをイメージする。
y = x² は頂点が(0,0)の下向きの放物線
x² + (y - 5/4)² = 1 は中心が(0,5/4)の半径1の円

y=x² の範囲から、y≧0 なので、範囲は指定(考慮)しなくてよい)

よって単純に
y = x²
x² + (y - 5/4)² = 1
の連立方程式を解けばよい。

y + (y - 5/4)² = 1
y + y² - 5y/2 + 25/16 = 1
y² - 3y/2 + 9/16 = 0
16y² - 24y + 9 = 0
(-4y + 3)² = 0
y = 3/4  重解

y = x²
(3/4) = x²
x= ±√{3/4}
 = ±√3 / √4
 = ±√3/2


検算してみる。
y = x²
 (3/4) = (√3/2)²
x² + (y - 5/4)² = 1
 3/4 + (1/4) = 1

共有点の座標は
(-√3/2 , 3/4)(√3/2 , 3/4)


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