f(x) = ∫|t(t - x)|dt (tは0から1の範囲) の最小値を求めよ。

という問題です。
解き方を教えて下されば助かります。
どうぞよろしくお願いします。

A 回答 (1件)

まずは絶対値記号を外すことから始めます。


t≧0なのでf(x)=∫{t|t-x|}dtですね。少し楽になりました。
あとはt-xの符号によって|t-x|=t-xあるいは-t+xのどちらかに分かれます。数学ではお約束の「xの範囲で場合分け」が必要になります。

場合わけして絶対値記号さえ外れれば、あとは簡単な積分計算です。
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。
t≧0に気づくだけで大分計算が楽になるのですね。

お礼日時:2011/04/22 16:15

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f(x) = ∫|t(t - x)|dt (tは0から1の範囲) の最小値を求めよ。

という問題で、
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6684413.html
のその後の計算がわかりません。

≧0なのでf(x)=∫{t|t-x|}dt
これより
(1) t-x≧0 つまりx≦tのとき
f(x)=∫t(t-x)dt (t:0→1)
  =-1/2・x + 1/3
これとy≦t-xの交点より最小値は-t + 2/3

(2) t-x<0 つまりx>tのとき
f(x)=∫-t(t-x)dt (t:0→1)
  =1/2・x - 1/3
これとy≧t-xの交点より最小値は1/3・t - 2/9

と計算しました。
このようなやり方で合っているのでしょうか?
場合分けをしているのでtの値が出てきそうな気がするのですが、tの値は出てくるのでしょうか。

途中計算も含めて解答をだしていただけると助かります。
重ねかさねよろしくお願いします。


解き方を教えて下されば助かります。
どうぞよろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1)でx≦0の場合のf(x)の式を求めてること、自覚してますか。
(してない場合は、どうやって被積分関数の絶対値記号を外したのか、もう一度考えてください。)
同様に(2)はx≧1の場合のf(x)の式を求めてます。

(1)によってf(x)はx≦0で単調減少、(2)によってf(x)はx≧1で単調増加であることが、分かります。
(こうした単調な変化は、放物線の性質を念頭に置いてf(x)のグラフを見ても、分かる。)
だから、f(x)は0≦x≦1の範囲で最小値をとります。

今まで求めたf(x)の式を使って、f(0)とf(1)は計算できる。
この内小さい方が、現時点でのf(x)の最小値の候補。

0≦x≦1のときは、0≦t≦xで被積分関数の式が(2)の場合と同じ、x≦t≦1で(1)の場合と同じ。
だから、f(x)を定義する積分を、この2つの積分区間での積分の和で表してから、計算する。
計算するとf(x)はxの3次式。

この3次式の0≦x≦1の範囲での増減を調べて、この範囲でのf(x)の最小値が求められる。
先の候補と比べて小さい方が、最小値。

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lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
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Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
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-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

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