高校生です。
問題集の解答を学校に置いてきました。orz
至急、

log(1+h) hは十分小さい

の第二次近似式の答えが知りたいです。
また、これをどうやって出すのか、できるだけ詳しく解説があるとありがたいです。
お願いします、<(_ _)>

A 回答 (2件)

問題集の解答を学校まで取りに行くやり方を


詳しく解説するためには、家と学校の住所が必要ですね。(笑

f(x) の x ≒ a における二次近似は、
f(x) ≒ f(a) + f’(a)・(x - a) + (1/2) f’’(a)・(x - a)^2 です。
何故そうなるのかについては、「テイラー展開」を google して下さい。

f(h) = log(1 + h), h≒0 に当てはめると、
f(h) ≒ h - (1/2)h^2 となります。
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log(1+h)=∫[0,h]1/(1+x)dx


g(x)=1/(1+x)  と すると  g '(x)=-1/(1+x)^2
1/(1+x)~g(0)+g '(0)x=1-x (1次近似式)
∫[0,h]1/(1+x)dx~∫[0,h](1-x)dx=h-(1/2)h^2
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Q関数の近似を教えて下さい。

f(X)=ln(1±X)≒±X という近似を教えてください。
マクローリン展開をしてグラフを作図してみたのですが、-1<x<1 の範囲ではグラフからは成立しているように読み取れるのですが、その範囲を超えてしまうと、近似はズレてきます。
マクローリン展開以外の近似の方法があるのでしょうか?
お願いします。

Aベストアンサー

 自然対数をマクローリン展開
   ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 ...  (*)
したときの収束半径は1ですから、|x| < 1 の範囲で近似しようとするのは危ないと思います。また、右辺の収束はあまり速くありません。
 次のような2段階の工夫をするとよいようです。
 2の整数乗で x に最も近いものを 2^n で表し、x = (2^n)*t とすると、
  ln(x) = n*ln(2) + ln(t) ( Sqrt(1/2) <= t < Sqrt(2) )
だから、ln(2) を定数として与えれば、ln(t) を計算すればよいことになります。
 さらに、u = (1-t)/(1+t) とおくと、t = (1-u)/(1+u) で (*) を使うと、
  ln(t)
 = ln(1+u) - (1-u)
 = 2*(u + u^3/3 + u^5/5 ... )
となります。
 これで計算すると (*) よりずっとましになります。
 また、連分数展開を利用する方法もあるようです。

 以上、状況がよくわからないので適切な回答かどうか自信はありませんが、参考にしていただければ幸いです。

<参考図書>
  奥村 晴彦 著「C言語による最新アルゴリズム事典」技術評論社(ISBN4-87408-414-1)

 自然対数をマクローリン展開
   ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 ...  (*)
したときの収束半径は1ですから、|x| < 1 の範囲で近似しようとするのは危ないと思います。また、右辺の収束はあまり速くありません。
 次のような2段階の工夫をするとよいようです。
 2の整数乗で x に最も近いものを 2^n で表し、x = (2^n)*t とすると、
  ln(x) = n*ln(2) + ln(t) ( Sqrt(1/2) <= t < Sqrt(2) )
だから、ln(2) を定数として与えれば、ln(t) を計算すればよいことになります。
 さらに、u = (1-...続きを読む

Q私の解答と問題集の解答とは考え方が違うのに、解答だけは一致します。

私の解答と問題集の解答とは考え方が違うのに、解答だけは一致します。
どちらとも考え方は正しいのでしょうか?


問題1

常に一定の割合で水の流れこんでくるタンクに水が溜まっている。
同じ性能のポンプ8台でこの水を汲み出すと、7分で空にでき、3台では21分かかる。
ではこの水を5分で空にするには、何台のポンプが必要か。

私の解答

仕事算と同じように1と置いた場合
x= ポンプ、y=流れこんでくる水

7(8*x-y) = 1
21(3x-y) = 1

これを解き、 x= 2/102、y= 1/105
5分でなくす場合

5{ n*(2/105) - (1/105) } = 1
n = 11

より11台のポンプが必要 と導き出しました。
しかし、解説には

初めから存在する水の量を1とする
x= ポンプ、y=流れこんでくる水

1+7y = 8*7x
1+21y = 3*21x

これを解くと、 x= 2/102、y= 1/105
5分でなくす場合
1+5*(1/105) = n*5*(2/105)
n = 11 (個)

となり、私の解答と問題集の解答とは一致しているかのように見えますが、
前者は初期の段階で入っていた水の量が無視されています。
それなのに何故答えは同じになるのでしょうか?
また、前者の解き方で今後続けてたら支障はでてくるのでしょうか?


問題2

あるサービス機関では、毎朝9時に受付を開始する。
受付開始時間までに行列を作って待っている人数は毎朝一定であり、
さらに毎分新たに到着して行列にならぶ人数も一定であると分かっている。
今、9時間に受付窓口を1つ設けると行列は60分でなくなり、受付窓口を2つ設けると
20分でなくなるという。この時、受付窓口を3つ設けると行列は何分でなくなるか。

私の解答
同様に仕事算と同じように1と置くと
窓口を x、来客を y

60 * (x - y) = 1
20 * { (2*x) - y } = 1

これを解くと、 x = 1/30 , y = 1/60 となり
受付窓口を3つにした場合

n { (1/30) *3 - (1/60) } =1
n = 12 (分)

となり、初期の段階で並んでいる客の数を考慮に入れなくても、答えと一致します。

また、問題に付属していた解説では、
初期の段階で列をつくっている人数を a人、新たに到着して列に並ぶ人数を x人
受付窓口1つで行列を処理できる人数をy人と置くと

a + 60x = 60y   …(1)
a + 20x = 20*2y …(2)

(1) - (2)より
y = 2x  …(3)
a = 60x

これを(1)に代入して、a = 60x …(4)
3つの受付窓口での行列がt分でなくなるとすると
a + tx = t * 6x
(3)、(4)を代入して、 t = 12 (分)


と、こちらの問題も初期に並んでいる人数を無視した私の解答と
無視していない模範解答とでは、答えもまたしてもおなじになります。
どうして、同じになるのでしょうか?
また、私の解き方はこのまま、今後も使っても大丈夫なのでしょうか?

お忙しいところすみませんが、どうかよろしくお願いします。

私の解答と問題集の解答とは考え方が違うのに、解答だけは一致します。
どちらとも考え方は正しいのでしょうか?


問題1

常に一定の割合で水の流れこんでくるタンクに水が溜まっている。
同じ性能のポンプ8台でこの水を汲み出すと、7分で空にでき、3台では21分かかる。
ではこの水を5分で空にするには、何台のポンプが必要か。

私の解答

仕事算と同じように1と置いた場合
x= ポンプ、y=流れこんでくる水

7(8*x-y) = 1
21(3x-y) = 1

これを解き、 x= 2/102、y= 1/105
5分でなくす場合

5{ n*(2/105) - (1/105...続きを読む

Aベストアンサー

問題1について

あなたの解答と模範解答は同じものです。
ただ問題になるのはあなたが式の意味が分からずのに「仕事算」というパターンの中でただ文字を当てはめているだけだというところです。
「~算」というのをあちこちで見ますがいい加減にやめてほしいものです。

x、yを使った連立方程式として解いているのですから「~算」という特殊な解き方があると考える必要はありません。

>仕事算と同じように1と置いた場合
x= ポンプ、y=流れこんでくる水

7(8*x-y) = 1   式A1
21(3x-y) = 1   式A2


仕事算では「しなければいけない仕事の量を1と置く」という風に方針が示されているのでしょうね。
仕事算だから1と置くということではありません。どういうとき方であれ1と置くということは可能です。Aと置く、Xと置くでも同じです。
でもこの場合で言うとあいまいすぎます。
「初めに(ポンプのスイッチを入れてくみ出しを開始したときに)タンクの中にあった水の量を1と置く」という表現になります。
またx、yには「1分間当たりの」という言葉が抜けています。
(これらはあなたの解答でも、模範回答でも同じです。どちらの解答も不十分です。)
(さらにいえば水の量に単位を添えてほしいです。)

あなたの解答の式を移行して変形します。

7*8x=7y+1   式B1
21*3x=21y+1 式B2 

が出てきます。模範解答と同じです。

式B1の 7y+1 は「初めあった水の量に流れ込んだ水の量をくわえたもの」です。これだけの量をポンプでくみ出したはずです。それが左辺の7*8xです。

式A1の 8x-y は1分間にポンプでくみ出す水の量と1分間に入って水の量の差ですから1分間に減少するタンクの中の水の量です。7分間で空になるということですから、これに7を掛けると初めにあった水の量になります。

どちらで考えても同じです。

同じであるということが分かっておられないということは式を立てる時に意味を考えていないということです。
ただ「~算」の解法のマニュアルに沿って式を立てただけでしょう。 

>前者は初期の段階で入っていた水の量が無視されています。
無視なんかしていません。右辺の1は初めにあった水の量です。
こういうことが起こるのを避けるためにも「1と置く」のではなくて文字を置く方がいいでしょう。

式を立てる時は必ず式の意味を考えてください。
「=」で結ばれた式であらわされるというのは必ず等しくなる量が存在するということです。
どういう量について等しいと考えたのかを意識しない限りこれからさき、方程式を浸かって行くことはできないでしょう。そのためにも「~算」という発想を捨てることです。「~算」というのはなぜそういう式を立てることができるかを考えないようにしている解法だからです。

後々に物理や、化学で方程式を使うことを考えると
量には単位を付けることをやっておくほうがいいでしょう。
初めにあった水の量を「P[L]とする」でも「Q[kg]とする」でもいいです。
体積で表したのであれば
ポンプが1分間にくみ出す水の量をx[L]、1分間に流れ込んでくる水の量をy[L]とする
という表現になります。

問題1について

あなたの解答と模範解答は同じものです。
ただ問題になるのはあなたが式の意味が分からずのに「仕事算」というパターンの中でただ文字を当てはめているだけだというところです。
「~算」というのをあちこちで見ますがいい加減にやめてほしいものです。

x、yを使った連立方程式として解いているのですから「~算」という特殊な解き方があると考える必要はありません。

>仕事算と同じように1と置いた場合
x= ポンプ、y=流れこんでくる水

7(8*x-y) = 1   式A1
21(3x-y) = 1   式A2
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Q自然対数Ln(x)からxを求める方法について

エクセル2007を使用し、あるグラフの近似曲線(対数近似)を描き、y=0.394Ln(x)+0.88という式を得ました。
y=2.041の時のxの値を求めたいのですが,
自然対数Ln(x)からxを求める方法があるでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

式を変形すると、
x=e^((y-0.88)/0.3)になります。エクセルで
+exp((2.041-0.88)/0.3)
で計算できると思います。

Qどうしても問題集の解答と合いません&解答の方が多分間違ってます。

確率の問題集をやっていたのですが、どうみても解答の答えと合わないのです。自分の解答のほうが正しいと思うのですが、どうでしょうか?

問題:「箱の中に1から10までの整数が1つずつ書いてある10枚のカードが入っている。この箱から1枚のカードを取り出し、その数を読んで元に戻してよくかき混ぜる。この試行を3回繰り返したとき取り出したカードの最大値が7で最小値が3である確率を求めよ

自分の解答:
「最大値が7で、最小値が3ということは、3回カードを引くうちの1回は必ず7で、2回は必ず3ということになる。あと一回は、3~7まで
のどれかということになるので、考えられる組み合わせは、(3,3,7)、(3,4,7)、(3,5,7)、(3,6,7)、(3,7,7)、(4,3,7)、(5,3,7)、(6,3,7)、(7,3,7)、(3,7,3)、(3,7,4)、(3,7,5)、(3,7,6)の13通りということになるので、求める確率は、13/1000である。」

問題集の解答:
「求めるべき確率は、『すべてが3以上7以下』である組み合わせ(←これをCとする)から、『すべてが3以上6以下』である組み合わせ【←これをC∩B'(B'はBの補集合)】と『すべてが4以上7以下』である組み合わせ【←C∩D'(←D'はDの補集合)】を足して、それから、『すべてが4以上6以下』である組み合わせ【←これをC∩B'∩D'】を引いたものであるから、求めるべき組み合わせは、C∩B∩Dということになり、その数は、n(C∩B∩D)=n(C)-{n(C∩B')+n(C∩D')-n(C∩B'∩D')}=5^3-2×4^3+3^3ということだから、求める確率は、(5^3-2×4^3+3^3)/1000=3/125 である。

確率の問題集をやっていたのですが、どうみても解答の答えと合わないのです。自分の解答のほうが正しいと思うのですが、どうでしょうか?

問題:「箱の中に1から10までの整数が1つずつ書いてある10枚のカードが入っている。この箱から1枚のカードを取り出し、その数を読んで元に戻してよくかき混ぜる。この試行を3回繰り返したとき取り出したカードの最大値が7で最小値が3である確率を求めよ

自分の解答:
「最大値が7で、最小値が3ということは、3回カードを引くうちの1回は必ず7で、2回は必ず3とい...続きを読む

Aベストアンサー

(4,7,3)、(5,7,3)、(6,7,3)、(7,3,3)、(7,3,4)、(7,3,5)、(7,3,6)、(7,4,3)、(7,5,3)、(7,6,3)、(7,7,3)、の11通りが抜けてますよ。求める確率は、24/1000である。
もれなく数えるのはけっこう難しい場合もありますね。

QVBかエクセルでの指数近似のやり方について教えてください.

VBかエクセルでの指数近似のやり方について教えてください.

あるサンプルデータの指数近似をやろうと思っています.指数近似曲線y=a*exp(bx)の定数aとbを求めようと思っておりますが,同時にサンプルデータの点数も変更しながら計算しようと思っております.指数近似の場合,例えば定数bを算出するときエクセルでは

=INDEX(LINEST(LN(H2:H23),G2:G23),1)

と書いています.つまり近似する対象となるサンプルデータの点数が変わると指定範囲(H2:H23)に空白セルや0の部分が出来てしまいます.VBだとfor文でそれらを回避することが出来るのですが,今度はVBでの指数近似のやり方(プログラム)がわかりません.

どなたか教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

最大H23まででいいのかなあ。
H2:H23の数値の個数をサンプルの点数として
=SLOPE(LN(H2:INDEX(H2:H23,COUNT(H2:H23))),G2:INDEX(G2:G23,COUNT(H2:H23)))

VBAならまだしも、VBはまったくわかりません。

Q至急、次の問題の解答・解説お願いします

ある銀行は平均10%の不良債権を抱えている。

(1)もしその銀行がある月に20件の貸し付けをしたならば、そのうち不良債権が
1件以下である確率はいくらか

(2)平均何件の不良債権が発生するか。また標準偏差は何件か

二項分布を使ってお願いします

Aベストアンサー

何回か同じ質問をしているようだが、回答がつかない。難しくもない問題なのに何でだろうね?
回答してみればわかるかも知れないので1回、回答してみよう。

質問は、統計の教科書には必ず出ているような問題です。

二項分布の確率(二項確率=P(X=r):確率変数Xがrになる確率))が次式で定義されているものです。

P(X=r)=nCr・p^r(1-p)^(n-r)

p:事象の起こる確率
n:対象となる数
r:nのうち事象の起こる数
nCr:二項係数

また、
平均:np
標準偏差:√(np(1-p))
ということが知られています。

で、質問の場合、不良債権の生じる確率10%だから、p=0.1
(1) 対象となる数 n=20、nのうち事象の起こる数 r<=1でr=0と1だから、
不良債権が1件以下である確率=不良債権が0件の確率+不良債権が1件の確率
P=P(X=0)+P(X=1)=20C0*0.1^0*(1-0.1)^(20-0)+20C1*0.1^1*(1-0.1)^(20-1)=1*0.1^0*0.9^20+20*0.1^1*0.9^19=0.122+0.270=0.392
で、
39.2%
(2)
npと√(np(1-p))を計算するだけ。
これくらいは、自分でどうぞ。

何回か同じ質問をしているようだが、回答がつかない。難しくもない問題なのに何でだろうね?
回答してみればわかるかも知れないので1回、回答してみよう。

質問は、統計の教科書には必ず出ているような問題です。

二項分布の確率(二項確率=P(X=r):確率変数Xがrになる確率))が次式で定義されているものです。

P(X=r)=nCr・p^r(1-p)^(n-r)

p:事象の起こる確率
n:対象となる数
r:nのうち事象の起こる数
nCr:二項係数

また、
平均:np
標準偏差:√(np(1-p))
ということが知られています。

で、質問の場合、不良債権...続きを読む

Q空白セルを無視して対数近似

A列、B列
0957
27.31599
56.87402
79.08255
158.3792
265.17 空白セル
541.76 空白セル
807.54 空白セル
1403.11 空白セル

といった2列目データ行数が不定のエクセルデータに対し、
この場合は
SLOPE(LN(B1:B5),A1:A5)
というように、
B列で値をもっているセルだけを使って対数近似をした片対数グラフの傾きを求めたいです。
LNは空白セルを無視してくれないので、SLOPE(LN(B1:B9),A1:A9)とかやるとエラーが出てしまいます。
何かよい方法はないでしょうか。

Aベストアンサー

B列の数字の入っているセルまでのデータ範囲にしたいという意味なら、以下のようなINDEX関数を使用します。

=SLOPE(LN(B1:INDEX(B:B,COUNT(B:B))),A1:INDEX(A:A,COUNT(B:B)))

Qf(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求

f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求める問題で解答はfx=(1+xy)e^(xy+2y^2),fy=x(x+4y)e^(xy+2y^2),fxx=(2y+xy^2)e^(xy+2y^2), fxy={x+(1+xy)(x+4y)}e^(xy+2y^2),fyy={4x+x(x+4y)^2}e^(xy+2y^2)でそれぞれどのようにして微分されているのかを詳しく教えてください
特にfxxからまったく分からないので教えてください

回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

f から fx を求めるのも、
fx から fxx を求めるのも、
x で偏微分するのは同じことだし、
式の形も似たようなものだが、
何故、fx は解って、fxx から解らないのか?
そこが判らないと、適切な回答にはならない
と思う。
なんで fxx が解らないのが、どこで詰まったのか、
質問者自身が自分の言葉で説明することが必要だ。

Qエクセル対数近似曲線のX値を代入、Y値の求め方

初めて質問させていただきます。

エクセル2003で散布図グラフを作成し、対数近似曲線を表示させたところ、以下の方程式が表示されました。

y=2E+06Ln(x)-4E+06

この式にXの値を代入して、Yの値を求めようと思い、X=25, 30, 35, 40・・・を代入してみたところ、Yの値が、対数近似曲線のグラフの位置と一致しないで困っています。

たとえば、X=25を代入して、Y=2*10^6*Ln(25)-4*10^6で計算すると、Y=2,437,742となります。一方、対数近似曲線のX=25のところを見ると、Y=3,000,000ぐらいになっています。

アドバイスを頂けると大変助かります。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

おそらく近似曲線の数式の係数の精度不足だと思います。
質問者様の書かれた数式の 2E+06 と -4E+06 の部分です。
対策ですが、表示桁数を増やしてその値を使って計算してみてください。
おすすめは、表示形式が指数で小数点以下14桁です。

表示の変更方法の詳細をご希望であればまずは以下のリンク先をご覧ください。
Excel2003と2007について解説してあります。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7648226.html

調べてみたところ、他にも類似の質問はいくつかあるようです。
とりあえず参考に2つ挙げてみました。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7314697.html
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/3554249.html

なお質問内容には関係ありませんが、この質問はExcelに関することなので、このカテゴリ(ビジネス・キャリア > その他(ビジネス・キャリア))よりも
デジタルライフ > ソフトウェア > MS Office
のカテゴリがよいと思います。
次回ご質問される時はそのあたりも配慮されることをおすすめいたします。

参考URL:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7648226.html

おそらく近似曲線の数式の係数の精度不足だと思います。
質問者様の書かれた数式の 2E+06 と -4E+06 の部分です。
対策ですが、表示桁数を増やしてその値を使って計算してみてください。
おすすめは、表示形式が指数で小数点以下14桁です。

表示の変更方法の詳細をご希望であればまずは以下のリンク先をご覧ください。
Excel2003と2007について解説してあります。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7648226.html

調べてみたところ、他にも類似の質問はいくつかあるようです。
とりあえず参考に2つ挙げてみました。
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Qf(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求

f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求める問題で解答はfx=(1+xy)e^(xy+2y^2),fy=x(x+4y)e^(xy+2y^2),fxx=(2y+xy^2)e^(xy+2y^2), fxy={x+(1+xy)(x+4y)}e^(xy+2y^2),fyy={4x+x(x+4y)^2}e^(xy+2y^2)でそれぞれどのようにして微分されているのかを詳しく教えてください

fxxから本当に分からないので教えてください

回答よろしくお願いします

Aベストアンサー

積の微分の公式 (uv)’=u’v + uv’ を繰り返し使います。

E=e^(xy+2y^2)
とおくと
f=xE
Ex=yE
Ey=(x+4y)E

fx
=E+xEx
=(1+xy)E

fxx
=yE+(1+xy)Ex
=yE+(1+xy)yE
=y(2+xy)E

fxy
=xE+(1+xy)Ey
=xE+(1+xy)(x+4y)E
={x+(1+xy)(x+4y)}E

fy
=xEy
=x(x+4y)E

fyy
=x・4・E+x(x+4y)Ey
=4xE+x(x+4y)^2E
=x{4+(x+4y)^2}E


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