a>0とする。
命題「|x-a|+|y-a|≦aならばxの2乗+yの2乗 <5の3乗である。」が真であるような整数aのうち、最大のものを求めよ。

すみませんが解説をお願いします。

A 回答 (3件)

もう少し、詳しく説明すると。



>円の中心(-a、-a)と直線(1)との距離が 円(2)の半径以下であると良い。
点と直線との距離の公式から、円の中心と直線との距離=|3a|/√2 であるから、|3a|/√2≦5√5

円の中心P(-a、-a)は、a>0から第3象限の β=α の上にある。
従って、|α|+|β|=a が表す4つの線分の中で、点Pから最も遠いのは、α+β=a である。
よって、点Pと直線:α+β=aとの距離が、円(2)の半径以下であると良い。と、いう事になる。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/22 22:34

一見して、置き換えに気がつく。



x-a=α、y-a=β とすると、|α|+|β|≦a ‥‥(1) のとき、(α+a)^2+(β+a)^2<5^3 ‥‥(2) が成立する整数aの最大値を求めよ、という問題になる。

(1)と(2)をαβ平面上に図示すると、(2)が(1)に含まれると良いから、そのための条件を考える。
円の中心(-a、-a)と直線(1)との距離が 円(2)の半径以下であると良い。
点と直線との距離の公式から、円の中心と直線との距離=|3a|/√2 であるから、|3a|/√2≦5√5
つまり、|a|≦5√10/3 であるから、整数aの最大のものは a=5
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2011/04/25 23:15

x、yの値により場合分けすると


(1)x-a+y-a<=a y<=-x+3a
(2)x-a-y+a<=a y>=x-a
(3)a-x+y-a<=a y<=x+a
(4)a-x-y+a<=a y>=-x+a
詳細は省きますがこれらを総合すると、「|x-a|+|y-a|≦aを満たす領域は、
(a,0)、(0,a)、(2a,a)、(a,2a)を頂点とする正方形になります。この辺りはご自分で図を描きながら考えてみて下さい。この領域内の点のうち、原点から最も遠い点がx^2+y^2<5^3=125という領域(円の内部)にあればいいわけです。
精査はしていませんが、(a,2a)および(2a,a)が原点から一番遠く、
x^2+y^2=a^2+4a^2=5a^2<125
a^2<25
a>0なので
a<5
が解だと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2011/04/25 23:15

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