f(x) = ∫|t(t - x)|dt (tは0から1の範囲) の最小値を求めよ。

という問題で、
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6684413.html
のその後の計算がわかりません。

≧0なのでf(x)=∫{t|t-x|}dt
これより
(1) t-x≧0 つまりx≦tのとき
f(x)=∫t(t-x)dt (t:0→1)
  =-1/2・x + 1/3
これとy≦t-xの交点より最小値は-t + 2/3

(2) t-x<0 つまりx>tのとき
f(x)=∫-t(t-x)dt (t:0→1)
  =1/2・x - 1/3
これとy≧t-xの交点より最小値は1/3・t - 2/9

と計算しました。
このようなやり方で合っているのでしょうか?
場合分けをしているのでtの値が出てきそうな気がするのですが、tの値は出てくるのでしょうか。

途中計算も含めて解答をだしていただけると助かります。
重ねかさねよろしくお願いします。


解き方を教えて下されば助かります。
どうぞよろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

(1)でx≦0の場合のf(x)の式を求めてること、自覚してますか。


(してない場合は、どうやって被積分関数の絶対値記号を外したのか、もう一度考えてください。)
同様に(2)はx≧1の場合のf(x)の式を求めてます。

(1)によってf(x)はx≦0で単調減少、(2)によってf(x)はx≧1で単調増加であることが、分かります。
(こうした単調な変化は、放物線の性質を念頭に置いてf(x)のグラフを見ても、分かる。)
だから、f(x)は0≦x≦1の範囲で最小値をとります。

今まで求めたf(x)の式を使って、f(0)とf(1)は計算できる。
この内小さい方が、現時点でのf(x)の最小値の候補。

0≦x≦1のときは、0≦t≦xで被積分関数の式が(2)の場合と同じ、x≦t≦1で(1)の場合と同じ。
だから、f(x)を定義する積分を、この2つの積分区間での積分の和で表してから、計算する。
計算するとf(x)はxの3次式。

この3次式の0≦x≦1の範囲での増減を調べて、この範囲でのf(x)の最小値が求められる。
先の候補と比べて小さい方が、最小値。
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この回答へのお礼

>(1)でx≦0の場合のf(x)の式を求めてること、自覚してますか。

あまり自覚してませんでした。
0≦t≦1 と組み合わせて考えなきゃいけなかったのですね。
細かく場合分けを提示していただいてありがとうございました。
おかげさまで無事解くことができました!

お礼日時:2011/04/23 00:57

∫|t(t - x)|dt はtが変数で、xはあくまで定数。


y=|t(t - x)|のグラフを書くと、t軸との交点が xと0 のtの2次関数。y≧0に注意。
0≦t≦1 だから、x≧1 と 1≧x≧0 の2通りの場合わけが必要。
その2通りのf(x) を求めて、微分で最大値・最小値を求めるだけ。 

後は、単なる計算問題。

この回答への補足

> 0≦t≦1 だから、x≧1 と 1≧x≧0 の2通りの場合わけが必要。
ここがどうしてこうなるのか分からないので
もう少し詳しく説明していただけますか?

補足日時:2011/04/22 19:45
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。

お礼日時:2011/04/22 19:44

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Q絶対値のついている定積分

f(x) = ∫|t(t - x)|dt (tは0から1の範囲) の最小値を求めよ。

という問題です。
解き方を教えて下されば助かります。
どうぞよろしくお願いします。

Aベストアンサー

まずは絶対値記号を外すことから始めます。
t≧0なのでf(x)=∫{t|t-x|}dtですね。少し楽になりました。
あとはt-xの符号によって|t-x|=t-xあるいは-t+xのどちらかに分かれます。数学ではお約束の「xの範囲で場合分け」が必要になります。

場合わけして絶対値記号さえ外れれば、あとは簡単な積分計算です。

Q絶対値の中に未知の定数が入っている関数の解き方

こんにちは。
この問題なのですが、どうやって解くのでしょうか?
tについての指定は無く、場合分けするのか…?等と迷っています。
お願いします。

x >=0 (∫は0から1です)
f(x)=∫{|t-x|(t+x)}dx

問一 f(1)を求めよ
問二 x>1のとき、f(x)をもとめよ

お願いします!

Aベストアンサー

>f(x)=∫[0→1]{|t-x|(t+x)}dx
dxはdtの間違いでしょう!

f(x)=∫[0→1]{|t-x|(t+x)}dt
であるとして回答します。

問一
f(1)=∫[0→1]{|t-1|(t+1)}dt
積分範囲0≦t≦1より -1≦t-1≦0であるから
|t-1|=1-t
f(1)=∫[0→1]{(1-t)(t+1)}dt
=∫[0→1](1-t^2)dt
=[t-(1/3)t^3][0→1]
=1-(1/3)
=2/3

問二 
f(x)=∫[0→1]{|t-x|(t+x)}dt

x>1のとき
積分範囲0≦t≦1より 0<x-tであるから |t-x|=x-t

従って、x>1のとき
f(x)=∫[0→1]{(x-t)(t+x)}dt
=∫[0→1](x^2-t^2)dt
=[tx^2-(1/3)t^3][t:0→1]
=x^2-(1/3)

Q定積分関数の最大最小(絶対値を含むものです)

定積分関数の最大最小の問題ですが、まず最初がわからないのでそこを教えていただき、それから途中はもう一度自分で考えてみようと思います。

問題
f(a)=∫*(0→1){|x*e^x-ax|}dxの1≦a≦eにおける最大と最小を求めよ。

x*e^x-ax≧0のとき単純に絶対値をはずしてはいけない。なぜなら、*e^x-ax≧0⇔e^x≧a⇔x≧logaであり《logaが区間{0,1}に含まれるときはxが{0,loga}{loga,1}のときとで符号が異なる》からである。

《》が解りません。符号が異なるのは解らなくもないこともないですが、なんでこの区間になるかがわかりません。

どなたか教えて下さい。

Aベストアンサー

こんにちは。

∫(0-1)|x*e^x-ax|dx=∫(0-1)x|e^x-a|dx

となります。ここで絶対値を外します。

まず、e^x-a>0のとき、x>LOGa、となり、さらに1≦a≦eより,0≦LOGa≦1、となるので、LOGa≦x≦1、のときe^x-a>0となります。絶対値をそのまま外してください。

同様に、e^x-a<0のとき、x<LOGa、となり、よって0≦x≦LOGaのとき、e^x-a<0となります。絶対値を符号を変えて外してください。

参考になりましたでしょうか?

Q定積分の最小値

x≦1のとき2x^2-7/2x+5/2 x>1のときx/2+1/2で定められる定数関数をF(x)として、このときのG(a)=∫a~a+1 F(x)dxの最小値を求める問題なんですが。
場合分けをして
a≦0のとき2a^2-3a/2+17/12
0<a≦1のとき-2a^3/3+2a^2-3a/2+17/12
1<aのときa/2+3/4
になったのですが肝心の最小値の求め方が分からず、ここから先へ進めません><
どなたかご教授ねがいます;;

Aベストアンサー

> 定数関数をF(x)として
定数関数?

y=G(a)のグラフを描いてみて下さい。
G(a)は0<a≦1で最小値をとる事が分かります。
G'(a)=-2a^2 +4a -(3/2)=-2(a-(1/2))(a-(3/2))
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G(s)の最小値はG(1/2)=13/12
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Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは?

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか?
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか?

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Q予備校テキストだけじゃ問題不足?

河合塾に通う浪人生です。
数学のテキスト(問題数)について質問があります。
さすが河合塾のテキストはしっかり作られているなぁとは思うのですが
1授業で扱うのは4問、たいてい2授業8問で1単元が終了します。
数学の授業は私立理系なので週3日(3授業)のみです。
河合塾ではテキストをメインに学習計画を立てるように言われているのですが
これだけで演習量は本当に十分なのでしょうか。
私の志望校は私立獣医なのですが、おそらく獣医も演習量が鍵なのではないかと思っています。
赤本や予備校の先生の話では、標準~やや応用レベルの問題が出ると言われており
さらにそれらの問題を8割9割とらなければいけない(=難問・奇問が少ない?)
ということなので、やはり問題をできるだけたくさんこなしたほうがいいのでしょうか。
むしろ河合のテキストの進度を無視して、チャート式などの問題集をメインに進め
テキストは授業前日だから予習する、くらいの感覚でいいのでしょうか。
それともやはり、河合塾のテキストをメインに進めるべきなのでしょうか。

問題集をメインにするべきだという場合は、チャート式などが良いと聞きましたが
使ったことがないので使ったことがある方はどんな感じか教えていただけると助かります。
(確かチャートは色別でレベルが分かれていたハズ・・・)
他にもオススメの問題集があればお願いします。

河合塾に通う浪人生です。
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これだけで演習量は本当に十分なのでしょうか。
私の志望校は私立獣医なのですが、おそらく獣医も演習量が鍵なのではないかと思っています。
赤本や予備...続きを読む

Aベストアンサー

>河合のテキストの進度を無視して、チャート式などの問題集をメインに進め、

それが常識です。
予備校の方で『テキストをメインに、、』と言っているのは、『「テキストの予習は全くしないで、ひとりよがりの勉強(講義に出ない、とか。やたらと難しい問題集に手を出す、みたいな。)をガンガン進める」というのはやめてね。』という話であって、「自習はあまりしなくていいです。」ということでは決してありません。

『予備校の講義+自分で問題集を解きまくる』は基本ですよ。

>チャート式などが良いと聞きましたが
私はチャートをやりこんだくちなので、チャートをオススメします。
旧帝大理系・早稲田慶應理系・国立医学部の末端レベルまでを志望校に設定している受験生にとっては、青チャートで十分です。
まずは、8月までに青チャート(1A~3Cまで)をそれぞれ2回まわすことを一つの目標に取り組まれてはどうでしょうか。

Q水素結合とはどういうものですか?

現在、化学を勉強している者です。水素結合についての説明が理解できません。わかりやすく教えていただけないでしょうか?また、水素結合に特徴があったらそれもよろしくお願いします。

Aベストアンサー

要は、「電気陰性度の大きい原子に結合した水素と、電気陰性度の大きい原子の間の静電的な引力」です。
電気陰性度の大きい原子というのは、事実上、F,O,Nと考えて良いでしょう。
電気陰性度の大きい原子と結合した水素上には正電荷(δ+)が生じます。また、電気陰性度の大きい原子上には負電荷(δー)が存在します。

水素が他の原子と違うのは、その価電子が1個しかないことです。つまり、他のイオンとは異なり、H+というのは原子核(通常は陽子)のみになります。他のイオンの場合には、内側にも電子格殻が存在しますので、原子格がむき出しになることはありません。
ご存じと思いますが、原子核というのは原子のサイズに比べてはるかに小さいために、H+というのは他のイオンとは比べ物にならないほど小さいといえます。もちろん、正電荷を持つ水素というのは水素イオンとは異なりますので、原子殻がむき出しになっているわけではありませんが、電子が電気陰性度の大きい原子に引き寄せられているために、むき出しに近い状態になり、非常に小さい空間に正電荷が密集することになります。
そこに、他の電気陰性度の大きい原子のδーが接近すれば、静電的な引力が生じるということです。
そのときの、水素は通常の水素原子に比べても小さいために、水素結合の結合角は180度に近くなります。つまり、2個の球(電気陰性度の大きい原子)が非常に小さな球(水素原子)を介してつながれば、直線状にならざるを得ないということです。

要は、「電気陰性度の大きい原子に結合した水素と、電気陰性度の大きい原子の間の静電的な引力」です。
電気陰性度の大きい原子というのは、事実上、F,O,Nと考えて良いでしょう。
電気陰性度の大きい原子と結合した水素上には正電荷(δ+)が生じます。また、電気陰性度の大きい原子上には負電荷(δー)が存在します。

水素が他の原子と違うのは、その価電子が1個しかないことです。つまり、他のイオンとは異なり、H+というのは原子核(通常は陽子)のみになります。他のイオンの場合には、内側にも電子格殻...続きを読む

Q6月に高3進研マーク模試を受けましたが、この点数だとどれぐらいの偏差値

6月に高3進研マーク模試を受けましたが、この点数だとどれぐらいの偏差値になりますか?

国語…130/200
数IA…65/100
数IIB…87/100
英語…159/200
リスニング…28/50
地理B…88/100
現代社会…77/100
物理…81/100
化学…83/100
5-7+リス(理系)…721/950

Aベストアンサー

平均点を満点の40~45%、標準偏差を満点の10~15%で計算してみるといいですよ。だいたいの目安です。

Q定積分の積分範囲

F(x)=∫[1→x]|t-x|dt のグラフを書けと言う問題で
解答を見ると場合分けで答えているのですが、

x<=1のとき積分範囲x<=t<=1
∫[1→x](t-x)dt= -((1-x)^2)/2

x>=1のとき積分範囲1<=t<=x 
∫[1→x](x-t)dt= ((1-x)^2)/2

計算自体は問題ないのですが

x<=1のときに[1→x]への積分範囲とはどんな意味なのですか?

参考書には定積分の上限と下限の大小は積分公式には関係無いと
書いてあるのですがちょっと分かりません

Aベストアンサー

ANo.1です.補足です.

定積分の定義

lim_{δ→0}Σ_{i=0}^{n-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i) (δ=max_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)

においてx_iの代わりにx_i≦ξ_i≦x_{i+1}なる任意の値ξ_iを使ってもよいです.厳密には任意の[a,b]の分割と任意のξ_iに対して

lim_{δ→0}Σ_{i=0}^{n-1}f(ξ_i)(x_{i+1}-x_i) (δ=max_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)

が一定値Iに収束するときIを定積分と呼ぶわけです.しかし実際は分割をn当分にし,ξ_i=x_iとすることが多いです.定積分が存在するら,分割とξ_iをどのように取ろうともIが計算できるからです.だから教科書にはa=0,b=1の場合

lim_{n→∞}(1/n)Σ_{i=0}^{n-1}f(i/n)

という公式を載せていることが多いのです.

再度強調しますが,定義においてはa<bということが重要ですが,c>dの場合の定積分は

∫_c^df(x)dx=-∫_d^cf(x)dx

と約束します.こうすると,便利な公式がそのまま成り立つので都合がよいわけです.マイナスの面積になるという意味付けもできます.←多分このことに質問者様は違和感があるのではないかと思われますが.

ANo.1です.補足です.

定積分の定義

lim_{δ→0}Σ_{i=0}^{n-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i) (δ=max_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)

においてx_iの代わりにx_i≦ξ_i≦x_{i+1}なる任意の値ξ_iを使ってもよいです.厳密には任意の[a,b]の分割と任意のξ_iに対して

lim_{δ→0}Σ_{i=0}^{n-1}f(ξ_i)(x_{i+1}-x_i) (δ=max_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)

が一定値Iに収束するときIを定積分と呼ぶわけです.しかし実際は分割をn当分にし,ξ_i=x_iとすることが多いです.定積分が存在するら,分割とξ_iをどのように取ろうともIが計算できるか...続きを読む


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