f(x) = ∫|t(t - x)|dt (tは0から1の範囲) の最小値を求めよ。

という問題で、
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6684413.html
のその後の計算がわかりません。

≧0なのでf(x)=∫{t|t-x|}dt
これより
(1) t-x≧0 つまりx≦tのとき
f(x)=∫t(t-x)dt (t:0→1)
  =-1/2・x + 1/3
これとy≦t-xの交点より最小値は-t + 2/3

(2) t-x<0 つまりx>tのとき
f(x)=∫-t(t-x)dt (t:0→1)
  =1/2・x - 1/3
これとy≧t-xの交点より最小値は1/3・t - 2/9

と計算しました。
このようなやり方で合っているのでしょうか?
場合分けをしているのでtの値が出てきそうな気がするのですが、tの値は出てくるのでしょうか。

途中計算も含めて解答をだしていただけると助かります。
重ねかさねよろしくお願いします。


解き方を教えて下されば助かります。
どうぞよろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

(1)でx≦0の場合のf(x)の式を求めてること、自覚してますか。


(してない場合は、どうやって被積分関数の絶対値記号を外したのか、もう一度考えてください。)
同様に(2)はx≧1の場合のf(x)の式を求めてます。

(1)によってf(x)はx≦0で単調減少、(2)によってf(x)はx≧1で単調増加であることが、分かります。
(こうした単調な変化は、放物線の性質を念頭に置いてf(x)のグラフを見ても、分かる。)
だから、f(x)は0≦x≦1の範囲で最小値をとります。

今まで求めたf(x)の式を使って、f(0)とf(1)は計算できる。
この内小さい方が、現時点でのf(x)の最小値の候補。

0≦x≦1のときは、0≦t≦xで被積分関数の式が(2)の場合と同じ、x≦t≦1で(1)の場合と同じ。
だから、f(x)を定義する積分を、この2つの積分区間での積分の和で表してから、計算する。
計算するとf(x)はxの3次式。

この3次式の0≦x≦1の範囲での増減を調べて、この範囲でのf(x)の最小値が求められる。
先の候補と比べて小さい方が、最小値。
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この回答へのお礼

>(1)でx≦0の場合のf(x)の式を求めてること、自覚してますか。

あまり自覚してませんでした。
0≦t≦1 と組み合わせて考えなきゃいけなかったのですね。
細かく場合分けを提示していただいてありがとうございました。
おかげさまで無事解くことができました!

お礼日時:2011/04/23 00:57

∫|t(t - x)|dt はtが変数で、xはあくまで定数。


y=|t(t - x)|のグラフを書くと、t軸との交点が xと0 のtの2次関数。y≧0に注意。
0≦t≦1 だから、x≧1 と 1≧x≧0 の2通りの場合わけが必要。
その2通りのf(x) を求めて、微分で最大値・最小値を求めるだけ。 

後は、単なる計算問題。

この回答への補足

> 0≦t≦1 だから、x≧1 と 1≧x≧0 の2通りの場合わけが必要。
ここがどうしてこうなるのか分からないので
もう少し詳しく説明していただけますか?

補足日時:2011/04/22 19:45
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。

お礼日時:2011/04/22 19:44

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Q絶対値を含む不等式の証明(2)

お世話さまです。

絶対値を含む不等式の証明にはほんとにお手上げです。
ふつうの不等式の証明はできていたのですが・・・。

次の不等式を証明しなさい。と言う問題で。

|a-b|<=|a|+|b|

私のこたえかた(見よう見まねで全然わかっていないのですが)

|a-b|^2-(|a|+|b|)^2<=0
a^2+2ab+b^2-a^2-2ab-b^2<=0
0<=0
|a-b|^2-(|a|+|b|)^2<=0
よって|a-b|<=|a|+|b|
等号はa=b=0

絶対、おかしいとは思うのですが、
絶対値の不等式でなにをすればいいのかわかっていません。
上記の問題の解き方と絶対値の不等式の証明はなにをすればいいか
ご教授ください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

たびたび失礼します。

> =-2pq-2|p||q|
> =-2(pq+|p||q|)>=0・・・・(*) 
この部分、
=-2pq-2|p||q|
=-2(pq+|p||q|)<=0・・・・(*) 
の間違いですね。
考え方は大丈夫だと思いますよ。

ただ、失礼ですが、ちょっと解答の書き方も勉強された方がよろしいですね。
ちょっとおこがましいですが、模範的な解答例です。
------------------------------------------------------------------
【問】a,b,cを実数とするとき、不等式|a-b|<=|a-c|+|b-c|を証明しなさい。

【解答その1】(|a-b|<=|a|+|b| が既知でないとします。)
a-c=p, b-c=q とおくと
a-b=(a-c)-(b-c)=p-q …(*)となるので、
与式:|a-b|<=|a-c|+|b-c|
を証明するには
|p-q|<=|p|+|q| …(1)
を証明すればよい。(∵(1) は、与式にa-c=p, b-c=q を代入したもの)
(|p|+|q|)^2 - |p-q|^2
=|p|^2+2|p||q|+|q|^2 -(p-q)^2
=p^2+2|pq|+q^2 -(p^2-2pq+q^2) = 2(|pq|+pq) >= 0 (∵|pq|>=pq)
∴|p-q|^2 <= (|p|+|q|)^2
よって、|p-q|>=0, |p|+|q|>=0 なので (1)も成り立つ。
従って、与式:|a-b|<=|a-c|+|b-c| も成り立つ。
等号は pq<=0 のとき成り立つ。
pq<=0 すなわち (a-c)(b-c)<=0 のとき
「a-c<=0 かつ b-c>=0」または、「a-c>=0 かつ b-c<=0」
前者の場合 a<=c かつ b>=c より、 a<=c<=b
後者の場合 a>=c かつ b<=c より、 b<=c<=a
よって等号成立条件は、a<=c<=b または、b<=c<=aの関係を満たすとき、である。
<証明終>

【解答その2】(問1で、|a-b|<=|a|+|b| を証明(既知であると)し、本問が問2であったような場合とします。)
a-c=p, b-c=q とおくと
a-b=(a-c)-(b-c)=p-q …(*)となるので、
与式:|a-b|<=|a-c|+|b-c| は、
|p-q|<=|p|+|q| …(1)
となる。問1の結果より、(1)は証明されているので
与式:|a-b|<=|a-c|+|b-c|も成り立つ。
(以下、等号成立条件はその1と同じ) <証明終>
------------------------------------------------------------------
ま、こんな感じでしょうか。
あとは、慣れです。

たびたび失礼します。

> =-2pq-2|p||q|
> =-2(pq+|p||q|)>=0・・・・(*) 
この部分、
=-2pq-2|p||q|
=-2(pq+|p||q|)<=0・・・・(*) 
の間違いですね。
考え方は大丈夫だと思いますよ。

ただ、失礼ですが、ちょっと解答の書き方も勉強された方がよろしいですね。
ちょっとおこがましいですが、模範的な解答例です。
------------------------------------------------------------------
【問】a,b,cを実数とするとき、不等式|a-b|<=|a-c|+|b-c|を証明しなさい。

【解答その1】(|...続きを読む

Q絶対値を含む不等式の証明

お世話様です。

不等式の証明は平方完成して解いてきましたが、絶対値を含む不等式も
それで解けるそうなのですが、なにをしていいのかまったくわかりません。

例題として|a+b|>=|a|+|b|

これの答えはあります。
どんなことをすれば、この絶対値を含む不等式が証明されるかできるだけ
わかりやすく教えて頂ければ幸いです。

納得次第、締め切ります。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>(1)|a-b|<=|a|+|b|
これは, すでに証明された |a+b|≦|a|+|b| ・・・(*)
の式で,a,bは実数で何でも良いので,bを-bで置き換えた式
|a+(-b)|≦|a|+|-b|
⇔|a-b|<=|a|+|b| [∵a+(-b)=a-b, |-b|=|b|(≧0) (|-3|=|3|=3など)]
も成立します.

又,場合分けが必要な問題の例ですが,今はあまり適切な例が思いあたらないのですみませんが,例えば
>[∵|ab|≧ab](←abが正,0,負のどの場合も成立し,等号はab≧0のとき)
この場合などです.

あとは
例)x^2-|x|+1>0 が成り立つことを示せ.
これなども,xが正,0,負で分けて示すのが基本的です.

でも実はずるい方法があって
x^2=|x|^2 より,左辺を|x|の2次関数とみなして
x^2-|x|+1=|x|^2-|x|+1=(|x|^2-1/2)^2+3/4≧3/4>0
(平方完成はもう大丈夫と思います.)
とやれば,場合分けはこの問題では避けられます.

>(1)|a-b|<=|a|+|b|
これは, すでに証明された |a+b|≦|a|+|b| ・・・(*)
の式で,a,bは実数で何でも良いので,bを-bで置き換えた式
|a+(-b)|≦|a|+|-b|
⇔|a-b|<=|a|+|b| [∵a+(-b)=a-b, |-b|=|b|(≧0) (|-3|=|3|=3など)]
も成立します.

又,場合分けが必要な問題の例ですが,今はあまり適切な例が思いあたらないのですみませんが,例えば
>[∵|ab|≧ab](←abが正,0,負のどの場合も成立し,等号はab≧0のとき)
この場合などです.

あとは
例)x^2-|x|+1>0 が成り立つことを示せ.
...続きを読む

Q∫0~1xdx=[1/2x^2]0から1=1/2 不定積分・定積分は?

次のような式があります。

∫0~1xdx=[1/2x^2]0~1=1/2

※∫の範囲?はここでは記述できないため、上記のように書いています。
そこで、
1)不定積分は[1/2x^2]0~1、定積分は1/2であるということで間違いないでしょうか?
2)この式では∫0~1xdxを積分すると1/2になるという説明でおかしくないでしょうか?
ご回答お願いいたします。

Aベストアンサー

>1)不定積分は[1/2x^2]0~1、定積分は1/2であるということで間違いないでしょうか?
「(1/2)x^2」は原始関数といいます。原始関数に任意定数Cを加えたものが不定積分結果になります。
「1/2」は定積分を計算した結果です。
不定積分は積分範囲の無い積分「∫xdx」のことを不定積分と言います。
定積分は積分範囲を指定した積分「∫[0→1] xdx」のことを定積分といいます。積分結果は本来、不定積分や定積分とはいいません。

>2)この式では∫0~1xdxを積分すると1/2になるという説明でおかしくないでしょうか?
「xを0から1まで積分すると1/2になる。」
「定積分∫[0→1] xdxの積分結果(積分値)は1/2になる。」
といった説明で良いでしょう。

Q不等式6Xー4>8Xー9を満たすXの範囲のうち、絶対値が5以下の整数を

不等式6Xー4>8Xー9を満たすXの範囲のうち、絶対値が5以下の整数を全て求めよ。

教えて下さい。

Aベストアンサー

まず一時不等式を解かなければ。
方程式と同じ式変形なので難しくないと思いますが、
両辺に負の数をかけると不等号がひっくり返りますので、注意。
そうするとx<2.5になります。

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そのうち不等式の解を満たすものなので3,4,5だけがはずれます。

Q∫(0~1)|t-sinx |dtのとき ∫(0~

∫(0~1)|t-sinx |dtのとき ∫(0~2π)f(X)dx を求めよ について教えてください!

Aベストアンサー

>∫(0~1)|t-sin(x) |dtのとき
>∫(0~2π)f(X)dx を求めよ
問題がおかしいですね。
f(x)が定義されていません。

f(x)=∫(0~1)|t-sin(x)|dtのとき
∫(0~2π) f(x)dxを求めよ
でしょうか?

そうなら
sin(x)<0(π<x<2π)のとき 0<t<1より t>sin(x)であるから
f(t)=∫(0~1) (t-sin(x))dt=(1/2)-sin(x) ...(A)

0≦sin(x)≦1(0≦x≦π)の時
積分区間(0~1)を(0~sin(x))と(sin(x)~1)に分けると
絶対値が積分区間ごとに外せるから
f(t)=∫(0~sin(x)) -(t-sin(x))dt+∫(sin(x)~1) (t-sin(x))dt
=[-t^2/2+tsin(x)](0~sin(x)) +[t^2/2-tsin(x)](sin(x)~1)
=(1/2)(sin(x))^2 +(1/2)-sin(x)+(1/2)(sin(x))^2
=(sin(x))^2-sin(x)+(1/2) ...(B)

従ってf(t)の積分は
I=∫(0~2π) f(x)dx
積分範囲を(0~π)と(π~2π)に分けるとそれぞれの積分区間で
f(x)は(B),(A)が対応するから
=∫(0~π) f(x)dx+∫(π~2π) f(x)dx
=∫(0~π){(sin(x))^2-sin(x)+(1/2)}dx
+∫(π~2π) {(1/2)-sin(x)}dx
=I1+I2
ここで
I1=∫(0~π){(sin(x))^2-sin(x)+(1/2)}dx
=∫(0~π){(1/2)(1-cos(2x))-sin(x)+(1/2)}dx
=∫(0~π){1-sin(x)}dx (∵cos(2x)の1周期(=π)の積分は0)
=π+[cos(x)](0~π)
=π-2

I2=∫(π~2π) {(1/2)-sin(x)}dx
=(π/2)+[cos(x)](π~2π)
=(π/2)+2

∴I=I1+I2=(3/2)π

>∫(0~1)|t-sin(x) |dtのとき
>∫(0~2π)f(X)dx を求めよ
問題がおかしいですね。
f(x)が定義されていません。

f(x)=∫(0~1)|t-sin(x)|dtのとき
∫(0~2π) f(x)dxを求めよ
でしょうか?

そうなら
sin(x)<0(π<x<2π)のとき 0<t<1より t>sin(x)であるから
f(t)=∫(0~1) (t-sin(x))dt=(1/2)-sin(x) ...(A)

0≦sin(x)≦1(0≦x≦π)の時
積分区間(0~1)を(0~sin(x))と(sin(x)~1)に分けると
絶対値が積分区間ごとに外せるから
f(t)=∫(0~sin(x)) -(t-sin(x))dt+∫(sin(x)~1) (t-sin(x))dt
=[-t^2/2+tsin(x...続きを読む

Q絶対値を含む三角不等式の証明を教えてください。

絶対値を含む不等式(三角不等式)の証明を教えてください。

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よろしくお願いします。  

Aベストアンサー

a≧0かつb≧0のとき |a+b|=a+b=|a|+|b|
a≧0かつb≦0のとき |a+b|=|a|-|b|≦|a|+|b|
a≦0かつb≧0のとき |a+b|=-|a|+|b|≦|a|+|b|
a≦0かつb≦0のとき |a+b|=-|a|-|b|≦|a|+|b|
以上より、|a+b|≦|a|+|b| ……(1)

ここで(1)において、a→a+b、b→-bと置換すると、
|a+b-b|≦|a+b|+|-b|
⇔|a|-|b|≦|a+b| ……(2)

(1)(2)より示された。(証明終わり)

Qある積分の問題。∫1/√(x^2+A) = log|x+√(x^2+A)|

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Q{d∫(a~x)f(t)g(t)dt}/dxの導関数

aを定数として、
{d ∫(a~x)f(t)dt}/dx は、
∫(a~x)f(t)dt = F(x)-F(a)より
{d ∫(a~x)f(t)dt}/dx = dF(x)/dx-dF(a)/dx
             =f(x)
となるのは分かるんですけど、
{d ∫(a~x)f(t)g(t)dt}/dx は h(t)=f(t)g(t)とおいて
{d ∫(a~x)h(t)dt}/dx = h(t) = f(t)g(t) とやっていいんですか?

Aベストアンサー

いいんじゃないですか?
ただ、{d ∫(a~x)h(t)dt}/dx = h(x) = f(x)g(x)だと思いますけど。 


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