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f(x) = ∫|t(t - x)|dt (tは0から1の範囲) の最小値を求めよ。

という問題で、
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6684413.html
のその後の計算がわかりません。

≧0なのでf(x)=∫{t|t-x|}dt
これより
(1) t-x≧0 つまりx≦tのとき
f(x)=∫t(t-x)dt (t:0→1)
  =-1/2・x + 1/3
これとy≦t-xの交点より最小値は-t + 2/3

(2) t-x<0 つまりx>tのとき
f(x)=∫-t(t-x)dt (t:0→1)
  =1/2・x - 1/3
これとy≧t-xの交点より最小値は1/3・t - 2/9

と計算しました。
このようなやり方で合っているのでしょうか?
場合分けをしているのでtの値が出てきそうな気がするのですが、tの値は出てくるのでしょうか。

途中計算も含めて解答をだしていただけると助かります。
重ねかさねよろしくお願いします。


解き方を教えて下されば助かります。
どうぞよろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (2件)

(1)でx≦0の場合のf(x)の式を求めてること、自覚してますか。


(してない場合は、どうやって被積分関数の絶対値記号を外したのか、もう一度考えてください。)
同様に(2)はx≧1の場合のf(x)の式を求めてます。

(1)によってf(x)はx≦0で単調減少、(2)によってf(x)はx≧1で単調増加であることが、分かります。
(こうした単調な変化は、放物線の性質を念頭に置いてf(x)のグラフを見ても、分かる。)
だから、f(x)は0≦x≦1の範囲で最小値をとります。

今まで求めたf(x)の式を使って、f(0)とf(1)は計算できる。
この内小さい方が、現時点でのf(x)の最小値の候補。

0≦x≦1のときは、0≦t≦xで被積分関数の式が(2)の場合と同じ、x≦t≦1で(1)の場合と同じ。
だから、f(x)を定義する積分を、この2つの積分区間での積分の和で表してから、計算する。
計算するとf(x)はxの3次式。

この3次式の0≦x≦1の範囲での増減を調べて、この範囲でのf(x)の最小値が求められる。
先の候補と比べて小さい方が、最小値。
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この回答へのお礼

>(1)でx≦0の場合のf(x)の式を求めてること、自覚してますか。

あまり自覚してませんでした。
0≦t≦1 と組み合わせて考えなきゃいけなかったのですね。
細かく場合分けを提示していただいてありがとうございました。
おかげさまで無事解くことができました!

お礼日時:2011/04/23 00:57

∫|t(t - x)|dt はtが変数で、xはあくまで定数。


y=|t(t - x)|のグラフを書くと、t軸との交点が xと0 のtの2次関数。y≧0に注意。
0≦t≦1 だから、x≧1 と 1≧x≧0 の2通りの場合わけが必要。
その2通りのf(x) を求めて、微分で最大値・最小値を求めるだけ。 

後は、単なる計算問題。

この回答への補足

> 0≦t≦1 だから、x≧1 と 1≧x≧0 の2通りの場合わけが必要。
ここがどうしてこうなるのか分からないので
もう少し詳しく説明していただけますか?

補足日時:2011/04/22 19:45
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。

お礼日時:2011/04/22 19:44

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