放物線の焦点を通る弦を直径とする円は、準線Lに接する事を証明せよ。
という問題なのですが、さっぱり意味がわかりません。
考え方だけでも教えて頂けると嬉しいです。
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

放物線の焦点をF,Fを通る弦と放物線の交点をそれぞれP,Qとして,


PからLへの垂線の足をP',QからLへの垂線の足をQ',
さらに,PQの中点をM(これが「円の中心」),MからLへの垂線の足をM'とする.
このとき,
QM=PM=MM'=(PP'+QQ')/2=PQ/2
が成り立つことを示せば十分.

で,これの証明なんだけども
台形PP'Q'QとMM'に対して,対角線PP'を引くことで
三角形の中点連結定理を使えばおしまい.

放物線の定義を念頭において絵を描けば
中学校の幾何の問題です.
計算不要です.
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放物線上の点を P(x, y)、焦点を F(0, a)、準線の式を y = -a とすると,Pから焦点までの距離と、Pから準線までの距離は等しいので


y+a=√(x^2+(a-y)^2)
x^2=4ay
というのが放物線の式です。
参考:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE%E7%89%A9% …

一方、焦点(0,a)を通る直線はy=αx+a と表すことができ、これと放物線の交点を求めるために
y=αx+a をx^2=4ay に代入すると
x^2=4a(αx+a)
x^2-4aαx-4a^2=0
x=(4aα±√(16a^2α^2+16a^2)/2
これをy=αx+aに代入すると
y=(4aα^2±α√(16a^2α^2+16a^2)/2+a
という二点が求められます。これが弦の両端になります。この二点の中点の座標は(2aα、2aα^2+a)で与えられ、これが問題文中の円の中心になります。この点から準線までの距離は2aα^2+2aです。・・・(1)

一方、弦の中点から両端までの距離の二乗は
(√(16a^2α^2+16a^2)/2)^2+(α√(16a^2α^2+16a^2)/2)^2
   =(16a^2α^2+16a^2+16a^2α^4+16a^2α^2)/4
   =4a^2α^4+8a^2α^2+4a^2
   =(2aα^2+2a)^2
なので、弦の中点から準線までの距離=弦の中点から両端までの距離 となり、弦の中点を中心とする円は準線に接することが判ります。
 放物線の頂点が原点である場合しか考えていませんが、この放物線を平行移動した場合焦点と準線も同じように平行移動するので相互の位置関係は変わらず、上記の関係が成り立ちます。
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Q放物線y^2=4pxの焦点Fを通る弦ABを直径とする円

放物線y^2=4pxの焦点Fを通る弦ABを直径とする円は放物線の準線に接することを示せ。またその接点をHとするとFHはABに垂直であることをしめせ!

この問題わかりません!!どなたか教えてください!!

まず私は、y^2=4pxの図を描きました
そのあとに円を書いて、準線にくっつくようにその円を描きました。そしてそのくっついた部分をH(接点)として、そのあと、この円が左右真っ二つになるように、直線を引いて(弦ABの事です)AからFに向かってそしてFを超えてBまで弦を書きました。

ここで円に対して、左右対称の真っ二つにして弦ABの線を描いたのは、”弦ABを直径とする”と題意に書いてあるので、弦を円の中に書いた時に、半分半分になってないと、たとえば左側の方が広くて、右側が狭いって事になってしまったら、これは直径の線ABと成らないと考えました。ここまでOKでしょうか?!>_<

さて、
問題を解き始め、まず、弦ABのAから準線に向かって一本線を引きました。そして、この垂線の足をCとしました。 
これは曲線を学んだ時、準線からAに向かって引く線は垂線であると学び、またAから焦点に伸びたAFとACは長さが等しいとも学びました。

よってAC=AF (1)
その後、ABと弦を引いた時にBがあるので、Bから準線に向かって垂線を引きました、このときの垂線の足をDとおきました。そしたら
BF=BDの関係が得られました。(2)

ここまでしかできません!!>_< 
このあとどうしたらよいでしょうか??
誰か教えてください!お願いします!

放物線y^2=4pxの焦点Fを通る弦ABを直径とする円は放物線の準線に接することを示せ。またその接点をHとするとFHはABに垂直であることをしめせ!

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まず私は、y^2=4pxの図を描きました
そのあとに円を書いて、準線にくっつくようにその円を描きました。そしてそのくっついた部分をH(接点)として、そのあと、この円が左右真っ二つになるように、直線を引いて(弦ABの事です)AからFに向かってそしてFを超えてBまで弦を書き...続きを読む

Aベストアンサー

No1さんのヒントに付け足して、というか、ほぼ答えになるのですが、
 四角形ABDCは台形になっていますよね。このとき、ABの中点M
 を通りACと平行になっている線分MHの長さには、
   MH=1/2(AC+BD) が成り立つことは中学校の中点連結定理
 でやりました。わからなければ、MHとBCの交点をEとでもして、
 ME=1/2AC[△ABCで中点連結定理]
 HE=1/2BD[△BCDで中点連結定理]とすればいいでしょう。

後半の「FHはABに垂直であることをしめせ」について
1.△ABHは∠AHB=90°[直径ABに対する円周角]の直角三角形
2.∠BAH=∠BHD[円の接線と、接点を通る弦とではさむ角は、そ
      のその角内にある弧に対する円周角に等しい・・接弦定理]
3.△ABHで∠ABH(=∠FBH)=90°-∠BAH
  △BDHで、△BDHは直角三角形だから、
       ∠DBH=90°-∠BHD=90°-∠BAH
4.BD=BFと3.のことなどから△BDH≡△BFHがいえるので
  ∠BDH=∠BFH=90°したがって・・・
という順でやっていけばいいでしょう。

全体を図形で考えましたが、F(p,0)を通る直線[x=my+p]と
曲線y^2=4pxの交点A,Bのy座標をα、β(α>β)として、座標や
線分の長さなどを計算してもAM=HMが証明できます。
後半の垂直になることも、直線の直交条件m・m'=-1でできます。

 

No1さんのヒントに付け足して、というか、ほぼ答えになるのですが、
 四角形ABDCは台形になっていますよね。このとき、ABの中点M
 を通りACと平行になっている線分MHの長さには、
   MH=1/2(AC+BD) が成り立つことは中学校の中点連結定理
 でやりました。わからなければ、MHとBCの交点をEとでもして、
 ME=1/2AC[△ABCで中点連結定理]
 HE=1/2BD[△BCDで中点連結定理]とすればいいでしょう。

後半の「FHはABに垂直であることをしめせ」につい...続きを読む


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