放物線の焦点を通る弦を直径とする円は、準線Lに接する事を証明せよ。
という問題なのですが、さっぱり意味がわかりません。
考え方だけでも教えて頂けると嬉しいです。
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

放物線の焦点をF,Fを通る弦と放物線の交点をそれぞれP,Qとして,


PからLへの垂線の足をP',QからLへの垂線の足をQ',
さらに,PQの中点をM(これが「円の中心」),MからLへの垂線の足をM'とする.
このとき,
QM=PM=MM'=(PP'+QQ')/2=PQ/2
が成り立つことを示せば十分.

で,これの証明なんだけども
台形PP'Q'QとMM'に対して,対角線PP'を引くことで
三角形の中点連結定理を使えばおしまい.

放物線の定義を念頭において絵を描けば
中学校の幾何の問題です.
計算不要です.
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放物線上の点を P(x, y)、焦点を F(0, a)、準線の式を y = -a とすると,Pから焦点までの距離と、Pから準線までの距離は等しいので


y+a=√(x^2+(a-y)^2)
x^2=4ay
というのが放物線の式です。
参考:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE%E7%89%A9% …

一方、焦点(0,a)を通る直線はy=αx+a と表すことができ、これと放物線の交点を求めるために
y=αx+a をx^2=4ay に代入すると
x^2=4a(αx+a)
x^2-4aαx-4a^2=0
x=(4aα±√(16a^2α^2+16a^2)/2
これをy=αx+aに代入すると
y=(4aα^2±α√(16a^2α^2+16a^2)/2+a
という二点が求められます。これが弦の両端になります。この二点の中点の座標は(2aα、2aα^2+a)で与えられ、これが問題文中の円の中心になります。この点から準線までの距離は2aα^2+2aです。・・・(1)

一方、弦の中点から両端までの距離の二乗は
(√(16a^2α^2+16a^2)/2)^2+(α√(16a^2α^2+16a^2)/2)^2
   =(16a^2α^2+16a^2+16a^2α^4+16a^2α^2)/4
   =4a^2α^4+8a^2α^2+4a^2
   =(2aα^2+2a)^2
なので、弦の中点から準線までの距離=弦の中点から両端までの距離 となり、弦の中点を中心とする円は準線に接することが判ります。
 放物線の頂点が原点である場合しか考えていませんが、この放物線を平行移動した場合焦点と準線も同じように平行移動するので相互の位置関係は変わらず、上記の関係が成り立ちます。
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Q放物線の方程式計算教えて下さい

y=-X2-4X-1を直線X=1に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

X=1に関して対称移動とはどういうことでしょうか?。
解答を見ますと頂点(-2,3) とX=1に関して対称な点は(4,3)と書いてありますが、なぜ(4,3)となるのか分かりません。

どうぞよろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>解答を見ますと頂点(-2,3) とX=1に関して対称な点は(4,3)と書いてありますが、なぜ(4,3)となるのか分かりません。

x=1に対称だということは、元の点と対称移動後の点のx座標の中点がx=1になっている(y座標は同じ)ということです。
x座標の平均:(-2+4)/2=1(対称軸x=1上にあるということです。)

>X=1に関して対称移動とはどういうことでしょうか?。
直線x=aに対称移動とは xの代わりに X=2a-xを代入(Y=yのまま)すれば良い。
∵(x+X)/2=a,y=Y

a=1なので X=2-xをxの代わりに代入すると(yはそのまま)
y=-(2-x)^2-4(2-x)-1=-x^2+8x-13
つまり、y=-x^2+8x-13 が対称移動後の放物線の方程式になります。

Q放物線y^2=4pxの焦点Fを通る弦ABを直径とする円

放物線y^2=4pxの焦点Fを通る弦ABを直径とする円は放物線の準線に接することを示せ。またその接点をHとするとFHはABに垂直であることをしめせ!

この問題わかりません!!どなたか教えてください!!

まず私は、y^2=4pxの図を描きました
そのあとに円を書いて、準線にくっつくようにその円を描きました。そしてそのくっついた部分をH(接点)として、そのあと、この円が左右真っ二つになるように、直線を引いて(弦ABの事です)AからFに向かってそしてFを超えてBまで弦を書きました。

ここで円に対して、左右対称の真っ二つにして弦ABの線を描いたのは、”弦ABを直径とする”と題意に書いてあるので、弦を円の中に書いた時に、半分半分になってないと、たとえば左側の方が広くて、右側が狭いって事になってしまったら、これは直径の線ABと成らないと考えました。ここまでOKでしょうか?!>_<

さて、
問題を解き始め、まず、弦ABのAから準線に向かって一本線を引きました。そして、この垂線の足をCとしました。 
これは曲線を学んだ時、準線からAに向かって引く線は垂線であると学び、またAから焦点に伸びたAFとACは長さが等しいとも学びました。

よってAC=AF (1)
その後、ABと弦を引いた時にBがあるので、Bから準線に向かって垂線を引きました、このときの垂線の足をDとおきました。そしたら
BF=BDの関係が得られました。(2)

ここまでしかできません!!>_< 
このあとどうしたらよいでしょうか??
誰か教えてください!お願いします!

放物線y^2=4pxの焦点Fを通る弦ABを直径とする円は放物線の準線に接することを示せ。またその接点をHとするとFHはABに垂直であることをしめせ!

この問題わかりません!!どなたか教えてください!!

まず私は、y^2=4pxの図を描きました
そのあとに円を書いて、準線にくっつくようにその円を描きました。そしてそのくっついた部分をH(接点)として、そのあと、この円が左右真っ二つになるように、直線を引いて(弦ABの事です)AからFに向かってそしてFを超えてBまで弦を書き...続きを読む

Aベストアンサー

No1さんのヒントに付け足して、というか、ほぼ答えになるのですが、
 四角形ABDCは台形になっていますよね。このとき、ABの中点M
 を通りACと平行になっている線分MHの長さには、
   MH=1/2(AC+BD) が成り立つことは中学校の中点連結定理
 でやりました。わからなければ、MHとBCの交点をEとでもして、
 ME=1/2AC[△ABCで中点連結定理]
 HE=1/2BD[△BCDで中点連結定理]とすればいいでしょう。

後半の「FHはABに垂直であることをしめせ」について
1.△ABHは∠AHB=90°[直径ABに対する円周角]の直角三角形
2.∠BAH=∠BHD[円の接線と、接点を通る弦とではさむ角は、そ
      のその角内にある弧に対する円周角に等しい・・接弦定理]
3.△ABHで∠ABH(=∠FBH)=90°-∠BAH
  △BDHで、△BDHは直角三角形だから、
       ∠DBH=90°-∠BHD=90°-∠BAH
4.BD=BFと3.のことなどから△BDH≡△BFHがいえるので
  ∠BDH=∠BFH=90°したがって・・・
という順でやっていけばいいでしょう。

全体を図形で考えましたが、F(p,0)を通る直線[x=my+p]と
曲線y^2=4pxの交点A,Bのy座標をα、β(α>β)として、座標や
線分の長さなどを計算してもAM=HMが証明できます。
後半の垂直になることも、直線の直交条件m・m'=-1でできます。

 

No1さんのヒントに付け足して、というか、ほぼ答えになるのですが、
 四角形ABDCは台形になっていますよね。このとき、ABの中点M
 を通りACと平行になっている線分MHの長さには、
   MH=1/2(AC+BD) が成り立つことは中学校の中点連結定理
 でやりました。わからなければ、MHとBCの交点をEとでもして、
 ME=1/2AC[△ABCで中点連結定理]
 HE=1/2BD[△BCDで中点連結定理]とすればいいでしょう。

後半の「FHはABに垂直であることをしめせ」につい...続きを読む

Q(緊急)関数y=-x^2+2x-3のグラフを対象移動した放物線の方程式を求めよ。

緊急です!これらの問題が分かりません!考え方、途中式もお願いします!
関数y=ーx^2+2xー3のグラフを(1)~(3)に関して対象移動した放物線の方程式を求めよ。
(1) x軸
(2) y軸
(3) 原点
時間が無いので早めの回答をお願いします!

Aベストアンサー

(1) x軸について線対称
 y を 「-y」に置き替えます。
  -y = -x² + 2x - 3
よって
  y = x² - 2x + 3

(2) y軸について線対称
 x を 「-x」に置き替えます。
  y = -(-x)² + 2(-x) - 3
   = -x² - 2x - 3

(3) 原点について点対称
 x を 「-x」に、y を 「-y」に置き替えます。
  -y = -(-x)² + 2(-x) - 3
よって
  y = x² + 2x + 3

Q放物線の3接線によってつくられる三角形の外接円は,その放物線の焦点を必ず通る。

具体的に言うと次のようになります。
放物線上に異なる3点P,Q,Rをとる。点Pにおける接線と点Qにおける接線との交点をS、点Qにおける接線と点Rにおける接線との交点をT、点Rにおける接線と点Pにおける接線との交点をU、とする。
三角形STUの外接円は放物線の焦点を通る。

このことを座標を用いないで証明して、幾何学的な意味を理解したいのですがわかりません。
証明できた方は教えていただけないでしょうか。

また、次のような似たような定理もあります。

双曲線の2焦点の垂直二等分線を軸と呼ぶことにします。
双曲線上の頂点以外の1点Pにおける接線、法線と軸との交点をそれぞれ、Q,Rとするとき、
三角形PQRの外接円が双曲線の焦点を通る。

このことの座標を用いない証明法もわかりません。
また、楕円に関して似たような定理はあるのでしょうか?

Aベストアンサー

初めの方だけ。
放物線上に異なる3点P,Q,Rをとる。
点Pにおける接線と点Qにおける接線との交点をS、点Qにおける接線と点Rにおける接線との交点をT、点Rにおける接線と点Pにおける接線との交点をU、とする。

放物線の焦点をF,準線をLとする。
PからLにおろした垂線の足をP1とすればPP1=PFである。
またPにおける角P1PFの2等分線はPにおける接線となっている。
なぜなら,角P1PFの2等分線上の点でP以外の任意の点をP'とし,P'からLにおろした垂線の足をP''とすればP'P''<P'F=P'P1となりP''は放物線の外部にあることになる。
以上からPにおける接線はP1Fの垂直2等分線である。
同様にQからLにおろした垂線の足をQ1,RからLにおろした垂線の足をR1とすれば,Qにおける接線はQ1Fの垂直2等分線であり,Rにおける接線はR1Fの垂直2等分線である。
明らかにP1,Q1,R1は同一直線上にあって,また,FP1,FQ1,FR1の中点P2,Q2,R2も同一直線上にある。
さらにFP2,FQ2,FR2はそれぞれSU,ST,TUに垂直である。

ここで角FP2S=角FQ2Sは直角であるから四角形FSP2Q2は同一円周上にあり,角SQ2P2=角SFP2である。
P2,Q2,R2も同一直線上にあるので,角SQ2P2=角TQ2R2である。
角TR2F=角TQ2F=直角であるから四角形FQ2TR2は同一円周上にあるので,角TQ2R2=角TFR2である。
以上から角SFP2=角TFR2である。
直角三角形FP2Uにおいて角FUP2+角P2FU=直角
直角三角形FUR2において角FUR2+角UFR2=直角
従って角SUT+角P2FU+角UFR2=2直角だが,角P2FU+角UFR2=角P2FU+角UFT+角TFR2=角P2FU+角UFT+角SFP2=角SFU+角UFT=角SFT
であるから角SUT+角SFT=2直角。
これはFが三角形STUの外接円上にあることを示す。

初めの方だけ。
放物線上に異なる3点P,Q,Rをとる。
点Pにおける接線と点Qにおける接線との交点をS、点Qにおける接線と点Rにおける接線との交点をT、点Rにおける接線と点Pにおける接線との交点をU、とする。

放物線の焦点をF,準線をLとする。
PからLにおろした垂線の足をP1とすればPP1=PFである。
またPにおける角P1PFの2等分線はPにおける接線となっている。
なぜなら,角P1PFの2等分線上の点でP以外の任意の点をP'とし,P'からLにおろした垂線の足をP''とすればP'P''<P'F=P'P1となりP''は放物線の外部に...続きを読む

Q方程式・放物線など

どなたか、回答と解き方を教えて下さい。

1:
2次方程式 X²+2KX+4K-1=0 が重解を持つように定数Kの値を定めよ。また、そのとき、重解を求めよ。

2:
放物線Y=X²+PX+Qが点(1,2)を通り、その頂点が直線Y=-X+3上にあるとき、PとQの値を定めよ。

3:
大小2つのサイコロを投げ、大きいほうの目をr、小さいほうの目をsとする。その時、2次方程式X²+rx+s=0が相異なる2つの実数解をもつ確率を求めよ。

4:
因数分解せよ。
(1)8X³+27Y³
(2)(2X-1)²+4(2X-1)+4

5:
方程式を解け
3X³+5X-7=0

6:
簡単にせよ
(1)(4a⁶b⁴)²×1/(-6a²b³)³
(2)√(10-√84)+√(10+√84)

7:
分母を有理化せよ。
(1+√2-√3)/(1-√2+√3)
どうか、解き方を教えてくださ~い!!

Aベストアンサー

質問の量が多いのでとりあえずヒント
1:重解ということは判別式=0を使います(b^2-4acですね)
そうするとkだけの方程式になるのでkについて解けばいいです
あとはkを入れて普通に二次方程式を解けばOK

2:平方完成して頂点の座標を求める。多分(-P/2,-P^2/4+Q)
また放物線の式に点(1.2)を代入するとP,Qの関係式がでるので
頂点の座標はPだけで表せる
あとはこの頂点の座標ををy=-x+3に代入

3:x^2+rx+s=0が異なる2つの実数解だから判別式>0
r^2-4s>0
これをみたすサイコロの目の組み合わせを考えましょう

4:(1)(2x)^3+(3y)^3になるところに注目
(2)2x-1=Aとおいて因数分解しましょう

6:(1)ひたすらごりごりやるだけです
(2)二重根号のはずしかた
10-√84=10-2√21=10-2√(7×3)になることに注目これを二乗の形にするにはどうすればよい?
二乗の形になれば外側の根号もはずれますね

とりあえずはこのへんまで頑張ってみましょう
ちょっとこれから犬の散歩なんで失礼します・・・

質問の量が多いのでとりあえずヒント
1:重解ということは判別式=0を使います(b^2-4acですね)
そうするとkだけの方程式になるのでkについて解けばいいです
あとはkを入れて普通に二次方程式を解けばOK

2:平方完成して頂点の座標を求める。多分(-P/2,-P^2/4+Q)
また放物線の式に点(1.2)を代入するとP,Qの関係式がでるので
頂点の座標はPだけで表せる
あとはこの頂点の座標ををy=-x+3に代入

3:x^2+rx+s=0が異なる2つの実数解だから判別式>0
r^2-4s>0
これをみたすサイコロの目の組み合わせを考えましょう
...続きを読む

Q2次曲線、楕円、双曲線、放物線、準円、準線、軌跡

楕円において、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡は、円となり、
準円と呼ばれます。
証明は
www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kkawachi/math-misc.files/director_circle.pdf
などに書かれています。

同様に、双曲線において、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡は、円となり、準円と呼ばれます。

では、なにかあるなめらかな曲線があって、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡が円となるとき、もとの曲線は楕円、または、双曲線に限られるのでしょうか?

Aベストアンサー

あらかじめ,これは回答ではありません.

リンク先の話は,先に曲線があって,
それに対してという話なので簡単なわけですね

逆にしてみると・・・厄介だなあ.
ってか・・解けない.
答えの想像は「たぶん円・楕円・双曲線・放物線」だろうなとは
思いますけどねー
#二次曲線は見方を変えると
#本質的に一種類なので放物線もいれておきます

リンク先の「方法1」に沿ってみよう.

F(x,y)=0 (FはC^∞くらいにしておこう)
なる曲線Cと,点A(a,b)をとる.
AからCへの接線の傾きをmとおこう.
接線は y=m(x-a)+b
軸に平行なケースはとりあえず考えない.
F(x,m(x-a)+b)=0
を考える.これは接線だから重解をもつはずだ.
この場合,f(x)=F(x,m(x-a)+b)とおくことで
f(x)=f'(x)=0が共通解を持つことに相当する.
この共通解が接点だ.
この共通解をもつということから,mを引っ張り出す.
そして,直交するという条件を使う.

とまあ・・・・こんな感じ大雑把にはすすめるわけですが,
問題点が複数あります
・軸に平行な接線を考えていない(これは本質ではない)
・接線がそもそもひけるか否か?
・接線がひけても2本だけか?1本もしくは3本以上のケースはどうする?
これを回避するには曲線Cを限定してしまうことが簡単です.

そこで,曲線Cを多項式F(x,y)で表わせるものとしてしまいます.
さらに次数も限定してしまいましょう.

次数が1の場合は無意味なので考えません.

次数が2の場合
F(x,y) = a20 x^2 + 2a11 xy + a02 y^2 + 2a10 x + 2a10 y + a00
とおくのがお約束.係数に2があるのは本質ではなく
表記を簡単にするためのお約束.
これを分類・整理するのが
大学の一年生くらいの線型代数の最後の方によくでてくる
二次形式の理論.
まあ,詳細は省いて,これは質問者氏が把握している問題と
その結果が導かれます.
#けど真剣にやったらかなり難儀な計算と理論と思考が必要ですよ.

次数が2の場合,接線の存在も個数も,二次方程式の議論から
判別式で素直に出てしまうので容易なわけです.
しかも「除外すべき特異なケース」は
F(x,y)が一次関数に因数分解されてしまうケースと
F(x,y)=x^2+y^2のようにF=0が一点になったり
F(x,y)=x^2+y^2+1のようにF=0が空集合になるケースくらいです.

これが次数が3になると,話が複雑.
接線が3本引けるケースもでてくるし。。。
本質的なのは3次曲線からは「特異」なものがでてくること.
F(x,y)=x^2-y^3なんてのは原点の形状が特異
F(x,y)=y^2-x^3-xなんかはもっと複雑
(これ暗号に使われる曲線のシンプルな例)
幸いなことに三次曲線は分類が完了してますが,
専門の数学者が研究でやってたくらいで,
結構最近の結果です.

もっと次数をあげると・・・4,5次あたりまでは
たしか分類完了してますが,
爆発的にパターンが増えるので
このアプローチは破綻します.

ということで,リンク先の「方法2」「方法3」のように
より抽象的・幾何的な方向にいくのですが,
そうなると話は格段に難しくなります.

あらかじめ,これは回答ではありません.

リンク先の話は,先に曲線があって,
それに対してという話なので簡単なわけですね

逆にしてみると・・・厄介だなあ.
ってか・・解けない.
答えの想像は「たぶん円・楕円・双曲線・放物線」だろうなとは
思いますけどねー
#二次曲線は見方を変えると
#本質的に一種類なので放物線もいれておきます

リンク先の「方法1」に沿ってみよう.

F(x,y)=0 (FはC^∞くらいにしておこう)
なる曲線Cと,点A(a,b)をとる.
AからCへの接線の傾きをmとおこう.
...続きを読む

Q放物線の方程式について

原点Oが頂点、下に凸の放物線では焦点Fを(0,p) 準線をy=-pとしているのですがなぜpと-pと置けるのでしょうか?

放物線の定義は定点Fとそれを通らない定直線Lから等しい距離にある点の軌跡であるから放物線の頂点からの距離が一緒になるためにはpと-pと置かないとならないからという解釈でも大丈夫でしょうか?

教えてください

Aベストアンサー

中学で 2 次関数 y = ax^2 (a ≠ 0) を習い, そのグラフを放物線と教えます.
この放物線の軸は y 軸, 頂点は原点 O であり,
さらに a > 0 の場合, 放物線は下に凸で, 焦点の y 座標を p とすれば, p > 0 です.
よって,
>p>0とする。下に凸で、焦点が(0,p)、準線がy=-p
>とあえてpと-pのようにきれいな数字にするのは
>放物線の頂点を原点にするためでしょうか?
この解釈で正しいと思います.
中学で最初に習った放物線 y = x^2 が, これに該当しますので.
ただし, 放物線の頂点を原点にするだけでなく, 軸を y 軸と一致させる目的もあります.

c > 0, p > 0 で, 放物線の焦点 F の座標が (0, c), 準線の方程式が y = -p のとき,
放物線の方程式は, 貴方が求めたとおり, y = [1/{2(c + p)}]x^2 + (c - p)/2 です.
さらに, 放物線の頂点が原点と一致するためには, c = p であることが必要十分で, その場合,
放物線の方程式が y = {1/(4p)}x^2 である, ということも正しいです.

先ほどの作図に戻って考えると, まず, 貴方のノートを xy 平面と考えます.
2 直線 m, n は直交するので, 回転と平行移動をほどこすことにより, m を x 軸, n を y 軸に移せます.
その場合, 当然 M は原点 O に移ります.
FM = HM = p とおくと, 当然 p > 0 であり, F が移る点の座標は (0, p) か (0, -p) のどちらかですが,
(作図で得られた放物線が)移った放物線が下に凸になる場合, F が移る点は (0, p) です.
このとき, H が移る点の座標が (0, -p) で, 準線 ℓ が移る直線の方程式が y = -p であることは明らかです.

中学で 2 次関数 y = ax^2 (a ≠ 0) を習い, そのグラフを放物線と教えます.
この放物線の軸は y 軸, 頂点は原点 O であり,
さらに a > 0 の場合, 放物線は下に凸で, 焦点の y 座標を p とすれば, p > 0 です.
よって,
>p>0とする。下に凸で、焦点が(0,p)、準線がy=-p
>とあえてpと-pのようにきれいな数字にするのは
>放物線の頂点を原点にするためでしょうか?
この解釈で正しいと思います.
中学で最初に習った放物線 y = x^2 が, これに該当しますので.
ただし, 放物線の頂点を原点にするだけでなく, 軸を y 軸と...続きを読む

Q幾何学です。あるとき放物線の弦PQが定点を通ることを証明したいのです。

放物線y^2=4px(pは0でない)の弦PQの両端と頂点Oを通る線分PO、QPが直交するならば、弦PQは定点を通ることを証明し、その定点を求めなさいという問題があるのですが、どうやってといたらいいかも思いつきません。
定点を(a,b)とおくのは無理ですよね。。。P、Qのy座標をそれぞれa、bとおきPQやPO、QOの方程式をもとめて・・・という方法もやってみたのですがわかりません。。。
誰か教えてください><

Aベストアンサー

P(pα^2、2pα)、Q(pβ^2、2pβ) (α≠β)とする。α≠0、β≠0.
直線OPはy=(2/α)*x、直線OQはy=(2/β)*xであるから、条件よりαβ=-4. ‥‥(1)
直線PQは (α+β)y=2(x-pα^2)+2pαであるから、これに(1)を代入してβを消すと、yα^2+2(4p-x)α-4y=0.
これが任意のαについて成立するから、y=0、4p-x=0.
従って、定点は(4p、0)。

Q放物線と方程式

分からない問題があるので教えてください。一応少しは解けましたが、難しすぎて歯が立ちません。どうか、よろしくお願いします。すべて教えていただけなくても、結構です。
y=x^2によって定められたxy平面状の放物線をCとする。C上にない点PとC上にある2点Q,Rについて、次の条件を満たしている。∠RPQ=90°, 線分PQは点QでCの接線と直交している, 線分PRは点RでCの接線と直交している。次の問いに答えよ。
(1)点Qのx座標をa,点Qにおける接線の方程式の傾きをmとしたとき、この接線の方程式をa,mを用いて表せ。
(2)mをaの式で表せ。
(3)点Rのx座標をbとする。このとき次の座標をa,bをを用いて表せ。
1,2点Q,Rの中点Mの座標  2,2点Q,RにおけるCの接線のの交点Sの座標
(4)点Pの座標をa,bを用いて表せ。
(5)点Q,RがC上を動くとき、点Pの奇跡の方程式を求めよ。
(6)a>0とする。△QSMの面積をS(a)と置き、これを求めよ。
(7)点QがC上を動くとき、△PQRの面積の最小値を求めよ。

解答できたのは、(1)だけです。(3)-1もできましたが、(2)が解けないため、(3)-2はできませんでした。

分からない問題があるので教えてください。一応少しは解けましたが、難しすぎて歯が立ちません。どうか、よろしくお願いします。すべて教えていただけなくても、結構です。
y=x^2によって定められたxy平面状の放物線をCとする。C上にない点PとC上にある2点Q,Rについて、次の条件を満たしている。∠RPQ=90°, 線分PQは点QでCの接線と直交している, 線分PRは点RでCの接線と直交している。次の問いに答えよ。
(1)点Qのx座標をa,点Qにおける接線の方程式の傾きをmとしたとき、この接線の方程式をa,mを用いて表せ。
(2...続きを読む

Aベストアンサー

(1)y=2m(x-a)+a^2
(2)f(x)=x^2とするとm=f'(a)=2a
(3)-1
Q,Rの中点Mの座標はQ,Rのx座標とy座標をそれぞれたして2で割る。
M((a+b)/2 , (a^2+b^2)/2)
(3)-2
Qにおける接線の方程式は
y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2
Rにおける接線の方程式は
y=2b(x-b)+b^2=2bx-b^2
この二つの直線の交点の座標は
S((a+b)/2 , ab) ただしこの二つの直線は直交しているから 2a*2b=-1 すなわち ab=-1/4 である
(4)点Pと点Sの中点がMだから
P((a+b)/2 , (a^2+b^2-ab))
a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab だから
P((a+b)/2 , (a+b)^2+3/4) ともかける
(5)a+b=a-1/4a は全ての実数を表わせることに注意してa+b=q とおけば
P(q/2 , q^2+3/4) この軌跡の方程式は
y=4x^2+3/4
(6)a>0とする。△QSMの面積をS(a)と置き、これを求めよ。
Q(a,a^2)
S((a+b)/2 , ab)
M((a+b)/2 , (a^2+b^2)/2)
この3点をx方向に-a, y方向に-a^2平行移動した点をそれぞれQ',S',M' とすると
Q'(0,0)
S'((b-a)/2 , a(b-a))
M'((b-a)/2 , (b^2-a^2)/2)
S(a)=△QSM=△Q'S'M'=|(b-a)^2*(b+a)-2a(b-a)^2|/8'=|(a-b)^3|/8
={(a + 1/4a)^3}/8
(7)点QがC上を動くとき、△PQRの面積の最小値を求めよ。
△PQR=2*△QSM={(a + 1/4a)^3}/4
ここで相加平均相乗平均の関係より
a + 1/4a≧1  (∵ 0<a)
よって最小値は 1/4

(1)y=2m(x-a)+a^2
(2)f(x)=x^2とするとm=f'(a)=2a
(3)-1
Q,Rの中点Mの座標はQ,Rのx座標とy座標をそれぞれたして2で割る。
M((a+b)/2 , (a^2+b^2)/2)
(3)-2
Qにおける接線の方程式は
y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2
Rにおける接線の方程式は
y=2b(x-b)+b^2=2bx-b^2
この二つの直線の交点の座標は
S((a+b)/2 , ab) ただしこの二つの直線は直交しているから 2a*2b=-1 すなわち ab=-1/4 である
(4)点Pと点Sの中点がMだから
P((a+b)/2 , (a^2+b^2-ab))
a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab だから
P((a+b)/2 , (a+b)^2+...続きを読む

Qたとえば直線lとl外の点Oを与えた時点Oを通るlの平行線の作図せよとい

たとえば直線lとl外の点Oを与えた時点Oを通るlの平行線の作図せよという問題で、どのように作図してなぜ平行になるかの証明方法を教えてください。何でもいいので。

Aベストアンサー

添付図をご覧ください

1. 直線l上の適当な点Aを中心として、点Oを通る円を書く
2. 交点Bを中心として、点Oを通る円の半径を取る
3. その半径で交点Cを中心とする円を書く
4. その円と点Aを中心とする円の交点Dと点Oを通る直線が求める直線

証明は、

AB = AC, BO = CD, OA = DA

三角形ABOと三角形ACDは合同

直線lから点Oへの距離と、直線lから点Dへの距離は同じ

直線lと直線ODは平行

という流れになります。


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