微分・積分の応用問題なのですが、ヒントもなくて全然解けません
e^πとπ^eはどちらが大きいですか

A 回答 (2件)

ヒント


x^(1/x) は x=e で最大値を取ります。
まずこれを証明しましょう。

この回答への補足

y=x^(1/x) (x>0) とする
x>0,y>0だから logy=logx/x
y'/y=(1-logx)/x^2
y'=x^(1/x)*(1-logx)/x^2
x>0だからx^(1/x)/x^2>0
よって0<x<e のときy'>0
x=e のときy'=0
e<x のときy'<0
よってy はx=e のとき最大
e<πだからe^(1/e)>π^(1/π)>0
eπ乗するとe^π>π^e

補足日時:2011/04/24 10:49
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この回答へのお礼

参考URLを見たらいろんな解きかたがあるんですね
x>0として
f(x)=x-elogx
f(x)=logx/x
f(x)=x^(1/x)

f(x)をどうしてそう置くのかいちばんわかりやすかったのはtknakamuriさんのです
でも解説を読むとnaniwacchiさんの置きかたもよくわかりました
微分がいちばんきつかったのはtknakamuriさんのです
微分がいちばん簡単だったのはnaniwacchiさんのです
f(e)とf(π)の大小関係がわかると、そこからe^π>π^e までいくのがいちばん簡単だったのはtknakamuriさんのです
ありがとうございました

お礼日時:2011/04/24 10:55

こんばんわ。



指数のままでは比較するのは難しいので、対数をとってから考えます。

過去によく似た質問もありました。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5675979.html

ご参考まで。

参考URL:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5675979.html
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この回答へのお礼

e^πとπ^eで比較が難しいからlog(e^π)とlog(π^e)で比較する
f(x)=x-elogx とする
f'(x)=1-e/x
e<x のときf'(x)>0,よってf(x)は単調増加
e<πだから0=f(e)<f(π)=π-elogπ
よってπ-elogπ>0
π>elogπ
よってe^π>e^(elogπ)=π^e
証明できました
ありがとうございました

お礼日時:2011/04/23 23:41

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きちんと証明しようとすると、結構難しかったりしますね。
似たような問題で e^πと π^eを比較するというのもあったりします。
(こちらの方がもっと簡単に調べることができます。方法は以下に同じです。)

電卓をたたけば、3^π> π^3であることはわかります。
これを式で証明することを考えます。


そこで、次のような関数を考えることにします。
f(x)= x- 3* log[3](x) ([3]は対数の底を表しています)

微分すると
f '(x)= 1- 3/log(3)* 1/x (注:この式における対数の底は自然対数 e)

f '(x)= 0なる xを考えると、x= 3/log(3)< 3<π(∵e< 3より log(3)> 1)
よって、x> 3/log(3)では f(x)は単調増加する。

また、f(3)= 3- 3*log[3](3)= 0となるから、f(π)> 0

π- 3* log[3](π)> 0

移項して
π> 3*log[3](π)

1<3であるから(指数の底が 1よりも大きいから)
3^π> 3^{ log[3](π^3) }
よって、3^π> π^3


方針としては、3^πとπ^3を直接比較するのは難しいので、
π* log[3](3)=πと 3* log[3](π)の比較に変えているということです。

きちんと証明しようとすると、結構難しかったりしますね。
似たような問題で e^πと π^eを比較するというのもあったりします。
(こちらの方がもっと簡単に調べることができます。方法は以下に同じです。)

電卓をたたけば、3^π> π^3であることはわかります。
これを式で証明することを考えます。


そこで、次のような関数を考えることにします。
f(x)= x- 3* log[3](x) ([3]は対数の底を表しています)

微分すると
f '(x)= 1- 3/log(3)* 1/x (注:この式における対数の底は自然対数 e)

f '(...続きを読む


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