問:f(x,y)=2x^3+24xy^2-3x^2+48xy+12y^2+24x+24y の極値を求めよ。

A 回答 (2件)

偏微分可能な関数 f は、∇f が 0 ベクトルになる点(臨界点)以外では極値をとりません。


極値点の候補となる ∇f = ↑0 の解を求めた後、それぞれが極値か否か検討します。
そのためには、各臨界点で f の偏微分係数行列(ヘッセ行列)の固有値を求めればよいです。
固有値が全て正ならば(狭義)極小値、固有値が正または 0 ならば広義極小値、
固有値が全て負ならば(狭義)極大値、固有値が負または 0 ならば広義極大値になります。
f が2変数関数の場合に限っては、固有値を求める手間を省略して、
ヘッセ行列式の正負のみで上記を判定することができます。 A No.1 のように。
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f(x,y) = 2x^3 + 24xy^2 - 3x^2 + 48xy + 12y^2 + 24x + 24y



∂f(x,y)/∂x
= 6x^2 + 24y^2 - 6x + 48y + 24 = 0 …(1)



∂f(x,y)/∂y
= 48xy + 48x + 24y + 24 = 0 …(2)

とを連立させて解くと,

(2)より
(2x + 1)(y + 1) = 0
x = -1/2 または y = -1.

i) x = -1/2 のとき
(1)より
x^2 - x + 4(y + 1)^2 = 0
にx = -1/2を代入すると
3/4 + 4(y + 1)^2 = 0.
これを満たす実数yは存在しない.

ii) y = -1 のとき
(1)にy = -1を代入して整理すると
x^2 - x = 0
x(x - 1) = 0
∴x = 0 または 1.

以上より(1),(2)の実数解は
(x,y) = (0,-1), (1,-1).

極値をとるとすれば,この2点である.
以下,この2点それぞれにおいて本当に極値をとるのかどうか調べる.

f_xx = ∂^2 f(x,y)/∂x^2
= 12x - 6
= 6(2x - 1).

f_xy = ∂^2 f(x,y)/∂x ∂y
= 48y + 48
= 48(y + 1).

f_yy = ∂^2 f(x,y)/∂y^2
= 48x + 24
= 24(2x + 1)

ヘッシアン
H(x,y) = f_xx f_yy - (f_xy)^2.

[I] (x,y) = (0,-1) のとき
f_xx = -6 < 0,
f_xy = 0,
f_yy = 24,
H(0,-1) = -144 < 0 なので,f(0,-1)は極値ではない.

[II] (x,y) = (1,-1) のとき
f_xx = 6 > 0,
f_xy = 0,
f_yy = 72,
H(1,-1) = 432 > 0.
したがって,
f(1,-1) = -13
は極小値である.

以上より,f(x,y)は(x,y) = (1,-1)において極小値f(1,-1) = -13をとる.

計算間違ってるかもしれません.検算してください.
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