球内の領域0≦r≦a
f(x)=A/x^2+y^2+z^2 Aは定数
について体積積分の求め方がわかりません。解答お願いします

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A 回答 (1件)

これって


f(x,y,z) = A/(x^2 + y^2 + z^2)
で,
∫∫∫[0≦r≦a] f(x,y,z) dx dy dz
ってことですよね?

∫∫∫[0≦r≦a] f(x,y,z) dx dy dz
= A∫∫∫[0≦r≦a] 1/(x^2 + y^2 + z^2) dx dy dz
= 4πA∫[0≦r≦a] dr
= 4πAa

なのでは.

一般に積分領域Vが半径aの球であれば球座標を使って

∫∫∫_V f dx dy dz を
∫[0,π]dθ∫[0,2π]dφ∫[0,a]dr r^2 sin θf

と書けますが,とくにfがrのみの関数であれば,

∫[0,π]dθ∫[0,2π]dφsin θ = 4π

なので,

∫[0,π]dθ∫[0,2π]dφ∫[0,a]dr r^2 sin θf(r)
= 4π∫[0,a]dr r^2 f(r)

です.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/04/24 12:57

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