2002年センター試験数学1A本試験の第2問(2)の問題で、解説に
A+Bが(x-1)^2で割り切れるとき、
2x+a+3=2(x-1)となる、とあります。
また、A+Bのxの係数が2だから、A+B=2(x-1)^2としてもよい、ともあります。

なぜそういえるのでしょうか。

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A 回答 (2件)

こんにちは。



解くのは比較的簡単でしたが、
「 2x+a+3=2(x-1)となる 」
については、どこをどうやると出てくるのかは、30分ほど悩んでみましたが、わかりませんでした。

解き方は色々ありますが、もっとも普通のやり方は、
A+B を (x-1)^2 すなわち x^2-2x+1 で割ることです。

2x^2+(a+1)x+b+1 ( = A+B )

x^2 - 2x + 1
で割ると、

2x^2+(a+1)x+b+1
 = 2x^2 - 4x + 2 + 4x - 2 + (a+1)x + b+1
 = 2(x-1)^2 + 4x - 2 + (a+1)x + b+1
 = 2(x-1)^2 + (a+5)x + b-1

ここで、(x-1)^2 で割り切れるということは、
あまりの (a+5)x + b-1 が常にゼロにならなくてはいけないので、
a+5 = 0
であり
b-1 = 0
です。
つまり、
a = -5   ケ=5
b = 1    コ=1
となります。


>>>また、A+Bのxの係数が2だから、A+B=2(x-1)^2としてもよい、ともあります。

その理由は簡単です。
(x+1)^2 や (x-1)^2 や (x+99999)^2 や (x-1億) などを展開すると、
x^2 の係数は、無し(=1)になります。
しかし、3(x+1)^2 や 3(x-1)^2 や 3(x+99999)^2 や 3(x-1億) などを展開すると、x^2 の係数は、どれも3になります。
(x-1)^2 で割り切れて、x^2 の係数が2になる整式というのは、2(x-1)^2 以外にないのです。

それを踏まえれば、上記の解き方はもっと簡単になります。
A+B = 2x^2+(a+1)x+b+1 = 2(x-1)^2
つまり、
2x^2+(a+1)x+b+1 = 2x^2 - 4x + 2
これが常に正しくなるためには(恒等式になるためには)、
a+1 = -4
b+1 = 2
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