2002年センター試験数学1A本試験の第2問(2)の問題で、解説に
A+Bが(x-1)^2で割り切れるとき、
2x+a+3=2(x-1)となる、とあります。
また、A+Bのxの係数が2だから、A+B=2(x-1)^2としてもよい、ともあります。

なぜそういえるのでしょうか。

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A 回答 (2件)

こんにちは。



解くのは比較的簡単でしたが、
「 2x+a+3=2(x-1)となる 」
については、どこをどうやると出てくるのかは、30分ほど悩んでみましたが、わかりませんでした。

解き方は色々ありますが、もっとも普通のやり方は、
A+B を (x-1)^2 すなわち x^2-2x+1 で割ることです。

2x^2+(a+1)x+b+1 ( = A+B )

x^2 - 2x + 1
で割ると、

2x^2+(a+1)x+b+1
 = 2x^2 - 4x + 2 + 4x - 2 + (a+1)x + b+1
 = 2(x-1)^2 + 4x - 2 + (a+1)x + b+1
 = 2(x-1)^2 + (a+5)x + b-1

ここで、(x-1)^2 で割り切れるということは、
あまりの (a+5)x + b-1 が常にゼロにならなくてはいけないので、
a+5 = 0
であり
b-1 = 0
です。
つまり、
a = -5   ケ=5
b = 1    コ=1
となります。


>>>また、A+Bのxの係数が2だから、A+B=2(x-1)^2としてもよい、ともあります。

その理由は簡単です。
(x+1)^2 や (x-1)^2 や (x+99999)^2 や (x-1億) などを展開すると、
x^2 の係数は、無し(=1)になります。
しかし、3(x+1)^2 や 3(x-1)^2 や 3(x+99999)^2 や 3(x-1億) などを展開すると、x^2 の係数は、どれも3になります。
(x-1)^2 で割り切れて、x^2 の係数が2になる整式というのは、2(x-1)^2 以外にないのです。

それを踏まえれば、上記の解き方はもっと簡単になります。
A+B = 2x^2+(a+1)x+b+1 = 2(x-1)^2
つまり、
2x^2+(a+1)x+b+1 = 2x^2 - 4x + 2
これが常に正しくなるためには(恒等式になるためには)、
a+1 = -4
b+1 = 2
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全額返金できなかったのですが気持ちが収まらず、
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Aベストアンサー

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確かにそれで出来るのならそれでやっても構いません.あなたの仰る通り自然ですし,確実な方法ではあります.
しかし・・・4次式を1次式で割るのは計算が大変ではありませんか?
そこでもっと楽にしようとする方法がQをRで割る方法です.

求められているものは各命題の同値条件を問うものではありません.
あくまでどちらの条件が緩いか?がわかればよいのです.

★A=R+BQ
であり,
k=±√3/2 のとき―すなわちBがRで割り切れるとき―は
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BQはBがRで割り切れるので当然BQもRで割り切れる

ということでAはRで割り切れることになります.
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以上から十分条件であり必要条件でない3番が正解となります.

確かにそれで出来るのならそれでやっても構いません.あなたの仰る通り自然ですし,確実な方法ではあります.
しかし・・・4次式を1次式で割るのは計算が大変ではありませんか?
そこでもっと楽にしようとする方法がQをRで割る方法です.

求められているものは各命題の同値条件を問うものではありません.
あくまでどちらの条件が緩いか?がわかればよいのです.

★A=R+BQ
であり,
k=±√3/2 のとき―すなわちBがRで割り切れるとき―は
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ということでA...続きを読む

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