下記の内容について質問します。

(P+a/Vm^2)(Vm-b)=RT ・・・式(1) ファンデルワールス式
P=RT/(Vm-b)-a/Vm^2・・・式(2) 式(1)変形式

式(2)をVmで微分すると、臨界点にてゼロとなる
(∂P/∂Vm)Tc = -(RTc/(Vmc-b)^2)+2a/Vmc^3 = 0 ・・・式(3)

式(2)をVmで二階微分すると、臨界点にてゼロとなる
(∂^2P/∂Vm^2)Tc = 2RTc/(Vmc-b)^3-6a/Vmc^4 = 0 ・・・式(4)

式(2)のa,bは式(3)および式(4)の関係を利用して
a = 9/8RTcVmc = 27R^2Tc^2/64Pc = 3PcVm^2 ・・・式(5)
b = Vmc/3 = RTc/8Pc ・・・式(6)


*私の知っている知識*
偏微分とは変数が複数ある式では、一部の変数(今回のケースはTc)を一定として仮定し通常の微分を行うこと。
微分とは、関数接点の傾きを求めること。(x^3が3x^2になる等)

これらをふまえて質問します。
質問1:式(2)→式(3)を導出する過程がわかりません(私の知っている知識にも記載しましたがx^3が3x^2となり指数が少なくなるはずなのに式(3)では指数が増えています)
質問2:式(2)→式(4)をを導出する過程がわかりません(質問1と同様の理由です)
質問3:式(5)および(6)を導出する過程がわかりません(単純な代入をしているのか?どのように変形させているのか、わからない状況です)

以上の3点です。
わかる方がいましたら、ご教授願います。

A 回答 (2件)

質問1と2は回答No.1さんの通りですので、質問3の導出部分についてですが、


ご質問にあるとおり、単純な代数操作でできますので、一例をあげてみます。

式3と4から、式3+Vmc/3×式4とすると
 -RTc/(Vmc-b)^2+2VmcRTc/3(Vmc-b)^3=0
これをbについて解くと
 b=Vmc/3 (Vmc=3b)式7,8
が導けます。

このbを式3に代入すると
 -RTc/(Vmc-Vmc/3)^2+2a/Vm3=0
これをaについて解くと
 a=9RTcVmc/8 (Vmc=8a/9RTc)式9,10

式2から
 Pc=RTc/(Vm-b)-a/Vm^2
に式7と式10を代入すると
 Pc=3RTc/2Vm-a/(8a/9RTc)^2
式10より
 Pc=3RTc/2(8a/9RTc)-a/(8a/9RTc)^2
これをaについて解くと
 a=27R^2Tc^2/64Pc 式11

式9に式8を代入すると
 a=27RTcb/8
式11より
 27RTcb/8=27R^2Tc^2/64Pc
これをbについて解くと
 b=RTc/8Pc (RTc=8Pcb=8PcVm/3)式12,13

式2と式7,13より
Pc=(8PcVm/3)/(Vm-Vm/3)-a/Vm^2
これをaについて解くと
 a=3PcVm^2
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この回答へのお礼

返答遅れ申し訳ありません

細部にわたり回答頂きありがとうございます
とてもわかりやすかったです

お礼日時:2011/05/09 10:35

>x^3が3x^2となり指数が少なくなる


その通りです。
だからここでは指数が「負」なのでx^(-2)は-2x^(-3)になります。
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この回答へのお礼

返答遅れ申し訳ありません

回答頂きありがとうございます
分母は分子に変換する際にマイナスになりますね
当たり前のことでした

お礼日時:2011/05/09 10:32

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Qファンデルワールス式の偏微分の仕方について。

理想気体の法則で、ファンデルワールス式に従う気体の膨張係数を求める際の偏微分のところがよく分かりません。

熱膨張係数はα = (1/V)(∂V/∂T)tと指定があります。
そして、

(P+a/V^2)(V-b) = RT ・・・(1)

を圧力一定で偏微分すると

(-2a/V^3)x(V-b)(∂V/∂T)p + (p+a/V^2)(∂V/∂T)p = R ・・・(2)


となるらしいのですが、なぜRには(∂V/∂T)pが付かないのでしょうか?

(1)の左辺はVで偏微分され、右辺はTで偏微分されている訳がよく分かりません。分かる方、ご教授ください。宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

>(1)の左辺はVで偏微分され、右辺はTで偏微分されている訳がよく分かりません。

高校で習う普通の微分の規則です。
df(g(x))/dx=df/dg・dg/dx

d[(P+a/V^2)(V-b)]/dT
=d[(P+a/V^2)(V-b)]/dV・dV/dT

ここではPもTの関数のはずなのに固定して微分していますからd/dTではなくて(∂/∂T)pになっています。

>なぜRには(∂V/∂T)pが付かないのでしょうか?
Rは定数です。PVTに無関係です。


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