まず、気になるのは
Sin^-1*4/5=α  とすると
Cosα=4/5  となるのはなぜでしょうか?
Sin^-1*4/5=α は sinα=4/5 では?

また2Cos^-1*4/5=Sin^-1*24/25 を証明したいのですが。どうすればいいのでしょうか?

よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

Sin^-1*4/5=α のとき定義より sinα=4/5であり、


Cosα=4/5になるはずはありません。
 2Cos^-1*4/5=Sin^-1*24/25
の両辺のsinをとると
 右辺=sin(sin^-1*(24/25))=24/25
左辺はsinθが0以上のとき
 sin(2θ)=2cosθsinθ
     =2cosθ・√(1-(cosθ)^2)
をつかうと
 sin(2Cos^-1*4/5)
  =2cos(Cos^-1*4/5)・√(1-(cos(Cos^-1*4/5))^2)
  =2・(4/5)・(3/5)=24/25
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grothendieckさんが既に答えられていますが、以下ご参考までに


<1>Sin^-1*4/5=α とすると定義により
Sinα=4/5 (1)
となり、疑問提示されている回答が正解です!

<2>2Cos^-1*4/5=Sin^-1*24/25の証明
2Cos^-1*4/5=α (2)
とおくと定義により
Cos(α/2)=4/5 (3)
一方、三角関数の公式を使うと
Sin(α/2)=±sqrt{(1-Cos^2(α/2))}=±3/5  (4)
Sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=2*4/5*Sin(α/2) (5)
(3)と(4)より
Sinα=±24/25  (6)
ここで角αを第一象限にとるとSinα>0となるから(5)は正符号を取ればよいことのなります。
Sinα=24/25  (7)
逆関数の定義により
α=Sin^-1(24/25) (8)
そこで(2)より
2Cos^-1*4/5=Sin^-1*24/25
                 (証明終わり)
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#3です。


質問を半分読みで答えてしまいました。

#1さんや#2さんが答えておいでになるので
私のは忘れてください。

申し訳ありませんでした。
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sin^-1x というのは逆数ではなく逆関数です。


f(x)の逆関数をf^-1(x)と表すのと同じです。

アークサインといいます。
arcsinと書くことも有ります。

arcsinx=α のとき sinα=x です。
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直角三角形になるには、3 : 4 : 5ではないですか。


よってsina=4/5ならばcosa=3/5では…
但し、0≦a≦90°

また2Cos^-1(4/5)=Sin^-1(24/25) を証明したいのですが。
cosa=4/5とおけば、sina=3/5
此より、Cos^-1(4/5)=aでしょ、よって2Cos^-1*4/5=2a
∴2a=Sin^-1(24/25) を証明すればよいことになります。
sin2a=2sina*cosa=2*(3/5)*(4/5)=24/25
第1象限で考えたものですので、一般解は此でよいのですか?
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