以下の問題の解き方を教えてください。

1.(a^6+a^3b^3+b^6)(a^2+ab+b^2)(a-b)
2.(a-b)^3(a+b)^3(a^2+b^2)^3
3.(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3

答え
1.a^9-b^9
2.a^12-3a^8b^4+3a^4b^8-b^12
3.48xyz

この問題たちは、
ひたすら展開すると時間がかかります。
どこをどう工夫したらいいのか教えてください。できるだけ詳しく。
あとは自力で解きます。

問題をネットで探してたら、展開の応用問題として載ってました。
答えだけで解説がなくて困っています・・・。

だれかお願いします!!

A 回答 (5件)

1


公式:(A-B)(A^2+AB+B^2)=(A^3-B^3)
を2回使うだけ。
最初は後の2項について使う a->A,b->Bとおく。
(a^2+ab+b^2)(a-b)=A^3-B^3=(a^3-b^3)

2回目
(a^6+a^3b^3+b^6)(a^3-b^3)=(A^2+AB+B^2)(A-B)
a^3->A,b^3->Bとおく。
=A^3-B^3=a^9-b^9

2
公式:(A-B)(A+B)=A^2-B^2
を2回使うだけ。
最初は前の2項について使う a->A,b->Bとおく。
(a-b)^3(a+b)^3={(A-B)(A+B)}^3=(A^2-B^2)^3=(a^2-b^2)^3

2回目
a^2->A, b^2->Bとおく。
(a^2-b^2)^3((a^2+b^2)^3={(A-B)(A+B)}^3=(A^2-B^2)^3

公式:(C-D)^3=C^3-3C^2*D+3CD^2+D^3
で C->A^2=a^4, D->B^2=b^4 と置けばよい。
(A^2-B^2)^3=C^3-3C^2*D+3CD^2+D^3=a^12-3a^8b^4+3a^4b^8-b^12

3
I=(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3=I1-I2
公式:A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2),A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)を使って
I1=(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)
A-B=(x+y+2z)-(y+2z-x)=2x
A^2+AB+B^2=(A-B)^2+3AB=4x^2+3{(y+2z)^2-x^2}=x^2+3(y+2z)^2
I1=2x^3+6x(y+2z)^2

I2=(2z+x-y)^3+(x+y-2z)^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)
A+B=(2z+x-y)+(x+y-2z)=2x
A^2-AB+B^2=(A+B)^2-3AB=4x^2-3{x^2-(y-2z)^2}=x^2+3(y-2z)^2
I2=2x^3+6x(y-2z)^2

∴I=I1-I2=6x{(y+2z)^2-(y-2z)^2}=6x(8yz)=48xyz
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3番


(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-[(2z+x-y)^3+(x+y-2z)^3]にして
(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3の部分
y+2z=Aとおいて
(A+x)^3-(A-x)^3
=[(A+x)-(A-x)][(A+x)^2+(A^2-x^2)+(A-x)^2]
=2x(A^2+2Ax+x^2+A^2-x^2+(A^2-2Ax+x^2)]
=2x(3A^2+x^2)
=6xA^2+2x^3
同じように
(2z+x-y)^3+(x+y-2z)^3の部分
(x+2z-y)^3+(x-(2z-y))^3で
2z-y=Bとおいてやると
(x+B)^3+(x-B)^3になるので計算すると
=6xB^2+2x^3になります

よって
6xA^2+2x^3-(6xB^2+2x^3)
=6x(A+B)(A-B)
ここで
A+B=y+2z+2z-y=4z
A-B=y+2z-(2z-y)=2y
よって
6x×4z×2y=48xyz
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この回答へのお礼

詳しく説明していただき、
ありがとうございました!!

お礼日時:2011/04/24 14:06

例えば、1の問題だと、公式どおり



a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

の応用で、

(a^6+a^3b^3+b^6)(a^3-b^3)

=a^9-b^9
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この回答へのお礼

分かりました!
その公式の応用だったのに、
気づきませんでした(汗)

ありがとうございます!!

お礼日時:2011/04/24 12:23

1番


(a-b)(a^2+ab+b^2)の部分
これは因数分解の基本公式(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)からもろに
a^3-b^3になります
さらに
(a^3-b^3)(a^6+a^3b^3+b^6)になったら
同じ公式を使います
aがa^3になっているだけなので・・
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2011/04/24 12:24

例えば2番なんですが


(a-b)^3(a+b)^3(a^2+b^2)^3
だと
[(a-b)(a+b)]^3(a^2+b^2)^3
にして
(a^2-b^2)^3(a^2+b^2)^3
にします。さらに
[(a^2-b^2)(a^2+b^2)]^3
にすると
(a^4-b^4)^3
となるのであとは3乗の展開公式を使えばいいと思います
    • good
    • 0
この回答へのお礼

分かりやすい説明、
ありがとうございました!!

お礼日時:2011/04/24 12:26

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しかし、テーラー展開の図形的意味つまり、テーラー展開では関数のグラフにおいて何を表しているのかよくわかりません。それと、高次の導関数を使えばなぜ近似の精度が向上するのかよくわかりません。

大学の図書館でいろいろ本を見たのですが、すっきりとした答えが見つかりませんでした。

回答をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

(0)
連続 ⇒ lim[x→a]f(x)=f(a) ⇒ f(x)≒f(a) ---定数で近似
(1)
f '(a) がある  ⇒ f(x)≒f(a)+f '(a)(x-a) ---接線で近似
グラフから、後者のほうがよい近似であることが分かる。
(2)
次に、f '(x) のグラフを考える。
f '(a)>0 、 f ' は 増加で 下に 凸 とする。
x=a で  f '' の接線  y=f '(a)+f ''(a)(x-a)  を引く。
f(x)-f(a)=∫[a,x]f '(t)dt=[f '(x) の a から x までの面積 ]
f '(a)(x-a)=[縦f '(a) 横 (x-a) の長方形の面積]
よって
[f '(x) の a から x までの面積]≒[縦f '(a) 横 (x-a) の長方形の面積]
と、近似すれば
f(x)-f(a)≒f '(a)(x-a)
  ⇒ f(x)≒f(a)+f '(a)(x-a)
さらに
[f '(x) のa からx までの面積]
≒[縦f '(a) 横 (x-a) の長方形の面積]+[底辺(x-a) 高さ f ''(a)(x-a)の三角形]
としたほうが,近似は良くなって
f(x)-f(a)≒f '(a)(x-a)+(1/2)f ''(a)(x-a)^2
  ⇒ f(x)≒f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2)f ''(a)(x-a)^2

(0)
連続 ⇒ lim[x→a]f(x)=f(a) ⇒ f(x)≒f(a) ---定数で近似
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グラフから、後者のほうがよい近似であることが分かる。
(2)
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f '(a)>0 、 f ' は 増加で 下に 凸 とする。
x=a で  f '' の接線  y=f '(a)+f ''(a)(x-a)  を引く。
f(x)-f(a)=∫[a,x]f '(t)dt=[f '(x) の a から x までの面積 ]
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よって
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いろいろ考えましたが、良い考えがでません。
添削してもらった解答は、c<=b<=a と置いて、これより、c<=1 が分かる。
また、相加相乗を使うと、abc<=1 となるので、証明する式は、
a^3+b^3+c^3<=3 となる。ここで、c<=1だから、a^3+b^3+c^3<=a^3+b^3+1^3となるので、
a^3+b^3<=2を a^2+b^2+1^2=3,つまり、a^2+b^2=2のもとで示せばよい。
としてしまいましたが、c=1でa^3+b^3+c^3が最大になるとは限らないので、ここで考えは
破綻しました。
良い考えがありましたら、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>a^3+b^3+c^3≦3が示された

反例
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Aベストアンサー

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ここでa(n)=f^(n)(a)/n!
とべき乗展開したとき、
f(x)をn項で打ち切っても|x-a|<<1であれば
f(x)~a(0)+a(1)(x-a)+ … +a(n)(x-a)^n
と近似しても、非常に良い近似式になる。つまり近似精度がよいことを意味します。
x=aの近くでなくてx=aから遠くなるにつれ、n項打ち切りの近似式の精度が悪化し近似誤差が大きくなります。
逆に言えば、x=aから遠くなるにつれf(x)のテイラー展開の収束が悪くなる(挙句は発散する)ことになりかねません。
なので、テイラー展開は「x=aの近くで」という表現ではより少ない項の和で近似してもf(a)の良い近似値が得られる。そのためのべき級数展開がテイラー展開ということです。
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と近似しても、非常に良い近似式になる。つまり近似精度がよいことを意味します。
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Qa^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

こんにちは。

[問]
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a+b=6log[b]a=6/log[a]b
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Aベストアンサー

>a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

ええ、もちろん log[a]b を単独でみるときはそうです。でも、この式
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正の数ですよね。ということは、右辺の log[a]b は正の数でなければな
りませんよね?そういう意味で log[a]b>0 といったのです。
したがって、もし b=a^(-1/2)を log[a]b に入れると log[a]a^(-1/2)=-1/2
となり、a+b=-12 で「a,bは正の数」と言うことに矛盾してしまいます。

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同様に次の二項を (a-b+c)→{a-(b-c)}    (a+b-c)→{a+(b-c)} とすると
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Q数学の問題です。⑴ a^3+b^3+c^3-3abcを因数分解し、こたえは(a+b+c)(a^

数学の問題です。

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です。よろしくお願いします。

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分母を(a-b)(b-c)(c-a)にして計算すると、
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-[(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+bc(b^2-c^2)]
=-(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)}

{ }の中をbで整理すると、
-(b-c){(c-a)b^2+(c-a)bc-a(c+a)(c-a)}
=-(b-c)(c-a){b^2+bc-a(c+a)}
=-(b-c)(c-a){b^2-a^2-(a-b)c}
-を中カッコの中に入れて、
=(b-c)(c-a)(a^2-b^2+(a-b)c}
=(b-c)(c-a)(a-b)(a+b+c)

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質問者様と同じく、
「A(条件)ならばB(結果)」の積み重ねで物事の主張をすることだと思います。演繹的、帰納的どちらもです。
このとき、科学的見地から「AならばB」が成り立つことが重要だと考えます。

また、「Aならば」の時点で導くことができる結果が複数あると思います。
「A→B→C→D→E」と論理をつなげることもできるし、(AならばB、BならばC、・・・)
「A→F→G→H→I」とつなげることもできるかもしれません。
この条件、結果のつなげ方によって、最終的に自分が主張したいことに論理的正当性を持たせられるかどうかが、
「論理展開が素晴らしい」「論理展開が稚拙」という評価になるのではないでしょうか。

Qa^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)

a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)

=(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+(b^2-c^2)bc
となるそうですが、
b^3(c-a)+c^3(a-b)の部分が
b^3c-b^3a+c^3a-c^3b=-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+(b^2-c^2)bcとなるのだと思うのですが、この部分を詳しく教えてください。


特に自分がわからないのは、-(b-c)( )とした場合、b^3cはどう変わるのかが思いつきません

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相手のレベルを考えずに回答する回答者(?)には困ったもんだ。
交代式・対称式なんか分るわけないだろう。

(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+(b^2-c^2)bc=(b-c)*a^3-(b-c)*(b^2+c^2+bc)*a+bc*(b+c)*(b-c)=(b-c)*{a^3-(b^2+bc+c^2)*a+bc*(b+c)}。

{  }の中だけ計算すると
{  }=展開して次数の小さいbに揃えると=(c-a)*b^2+c*(c-a)*b-a*(c^2-a^2)=(c-a)*{b^2+bc-ac-a^2}=(c-a)*{(b^2-a^2)+c*(b-a)}=(c-a)*(b-a)*(a+b+c)。

結局は、a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=-(a-b)*(b-c)*(c-a)*(a+b+c)となる。