以下の問題の解き方を教えてください。

1.(a^6+a^3b^3+b^6)(a^2+ab+b^2)(a-b)
2.(a-b)^3(a+b)^3(a^2+b^2)^3
3.(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3

答え
1.a^9-b^9
2.a^12-3a^8b^4+3a^4b^8-b^12
3.48xyz

この問題たちは、
ひたすら展開すると時間がかかります。
どこをどう工夫したらいいのか教えてください。できるだけ詳しく。
あとは自力で解きます。

問題をネットで探してたら、展開の応用問題として載ってました。
答えだけで解説がなくて困っています・・・。

だれかお願いします!!

A 回答 (5件)

1


公式:(A-B)(A^2+AB+B^2)=(A^3-B^3)
を2回使うだけ。
最初は後の2項について使う a->A,b->Bとおく。
(a^2+ab+b^2)(a-b)=A^3-B^3=(a^3-b^3)

2回目
(a^6+a^3b^3+b^6)(a^3-b^3)=(A^2+AB+B^2)(A-B)
a^3->A,b^3->Bとおく。
=A^3-B^3=a^9-b^9

2
公式:(A-B)(A+B)=A^2-B^2
を2回使うだけ。
最初は前の2項について使う a->A,b->Bとおく。
(a-b)^3(a+b)^3={(A-B)(A+B)}^3=(A^2-B^2)^3=(a^2-b^2)^3

2回目
a^2->A, b^2->Bとおく。
(a^2-b^2)^3((a^2+b^2)^3={(A-B)(A+B)}^3=(A^2-B^2)^3

公式:(C-D)^3=C^3-3C^2*D+3CD^2+D^3
で C->A^2=a^4, D->B^2=b^4 と置けばよい。
(A^2-B^2)^3=C^3-3C^2*D+3CD^2+D^3=a^12-3a^8b^4+3a^4b^8-b^12

3
I=(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3=I1-I2
公式:A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2),A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)を使って
I1=(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)
A-B=(x+y+2z)-(y+2z-x)=2x
A^2+AB+B^2=(A-B)^2+3AB=4x^2+3{(y+2z)^2-x^2}=x^2+3(y+2z)^2
I1=2x^3+6x(y+2z)^2

I2=(2z+x-y)^3+(x+y-2z)^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)
A+B=(2z+x-y)+(x+y-2z)=2x
A^2-AB+B^2=(A+B)^2-3AB=4x^2-3{x^2-(y-2z)^2}=x^2+3(y-2z)^2
I2=2x^3+6x(y-2z)^2

∴I=I1-I2=6x{(y+2z)^2-(y-2z)^2}=6x(8yz)=48xyz
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    • 0

3番


(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-[(2z+x-y)^3+(x+y-2z)^3]にして
(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3の部分
y+2z=Aとおいて
(A+x)^3-(A-x)^3
=[(A+x)-(A-x)][(A+x)^2+(A^2-x^2)+(A-x)^2]
=2x(A^2+2Ax+x^2+A^2-x^2+(A^2-2Ax+x^2)]
=2x(3A^2+x^2)
=6xA^2+2x^3
同じように
(2z+x-y)^3+(x+y-2z)^3の部分
(x+2z-y)^3+(x-(2z-y))^3で
2z-y=Bとおいてやると
(x+B)^3+(x-B)^3になるので計算すると
=6xB^2+2x^3になります

よって
6xA^2+2x^3-(6xB^2+2x^3)
=6x(A+B)(A-B)
ここで
A+B=y+2z+2z-y=4z
A-B=y+2z-(2z-y)=2y
よって
6x×4z×2y=48xyz
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この回答へのお礼

詳しく説明していただき、
ありがとうございました!!

お礼日時:2011/04/24 14:06

例えば、1の問題だと、公式どおり



a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

の応用で、

(a^6+a^3b^3+b^6)(a^3-b^3)

=a^9-b^9
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この回答へのお礼

分かりました!
その公式の応用だったのに、
気づきませんでした(汗)

ありがとうございます!!

お礼日時:2011/04/24 12:23

1番


(a-b)(a^2+ab+b^2)の部分
これは因数分解の基本公式(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)からもろに
a^3-b^3になります
さらに
(a^3-b^3)(a^6+a^3b^3+b^6)になったら
同じ公式を使います
aがa^3になっているだけなので・・
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2011/04/24 12:24

例えば2番なんですが


(a-b)^3(a+b)^3(a^2+b^2)^3
だと
[(a-b)(a+b)]^3(a^2+b^2)^3
にして
(a^2-b^2)^3(a^2+b^2)^3
にします。さらに
[(a^2-b^2)(a^2+b^2)]^3
にすると
(a^4-b^4)^3
となるのであとは3乗の展開公式を使えばいいと思います
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この回答へのお礼

分かりやすい説明、
ありがとうございました!!

お礼日時:2011/04/24 12:26

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Aベストアンサー

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ、基礎的な薄い物をやってみて、その感触で量るのが良いでしょう。
また、色々な教材を良く眺めてみるいうのも良い勉強です。
根性決めて書店に「通って」ください。
進研の模試もそうですが、教材には相性やレベルがあります。
進研の問題は確かに基礎的な良問であるような気はしますが、だからと言って、あなたがそれで勉強できるかどうかは判りません。
もっと基礎が抜けているのかも知れないし、そんな問題では簡単すぎるのかも知れません。
それはどの教材であってもそうです。

基礎ができていないのなら基礎、入試標準レベルのところでつっかえているのならそれ、と今自分が何をすべきか、で決めて、それをさっさと終えてください。
最後までそれだけでやり通そうとするから基礎から応用まで、なんて事を言うんです。
そもそも化物に至っては、教科書をきちんと読んでいるのか。理解できるよう読んでいるのか。なんて事が第一です。
その上で参考書、です。
物理は、一読しただけではさっぱり判らなくて当然です。
何度も教科書や参考書を読み、基礎問題を解き、解らなくなってまた教科書参考書に戻る、の繰り返しです。しつこくしつこく。
天才を除けば根負けするかどうかの科目だと思っています。

単語帳は相性次第です。
前書きからしっかり立ち読みし、相性が良さそうな物を選んでください。
当面センターレベルで良いので、さっさと終わらせることです。
現代文は、出口、田村、板野、河合の入試現代文へのアクセス、辺りを。これも前書きからしっかり読んで、やり方を把握したり指示に従ったりしましょう。
古典は知りません。
理系なら、二次私大でで国語を使うのかどうかでどこまでやるかが変わると思います。
あなたなら、伊藤さんの「ビジュアル英文解釈」ができると思います。
最初は易しいですが、最後までやり通したり、その後の「英文解釈教室」まで行けば大した物だと思います。

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
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