ε-δ論法に関する問題です。

lim(x→a) f(x) = A
lim(x→a) g(x) = B

のとき、以下を証明せよ。

lim(x→a) f(x)・g(x) = AB

lim(x→a)f(x)/g(x) = A/B (B≠0)


lim(x→a)f(x)=Aならば、aの近傍でAは有界
であることを使うらしいのですが、ご存知の方解答よろしくおねがいします。
ε-δ論法のことは知っているので、そこから解説して頂かなくても結構です。

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A 回答 (2件)

細かい修正が必要です。



>∀ε>0 ∃δ>0 s,t,
>∀x, 0<|x-a|<δ1⇒|f(x)-A|<ε/2
>0<|x-a|<δ2⇒|g(x)-B|<ε/2
1行目では δ を使っているのに、2行目と3行目でそれぞれ δ1 と δ2 が何の断りもなく登場しています。
1行目は、「∀ε>0, ∃δ1, δ2>0 s.t.」とします。

>δ1とδ2のうち小さい方をδとすると、
減点はされないかもしれませんが、δ1 = δ2 かもしれないので「δ = min (δ1, δ2) とおくと、」にします。

で、最後の部分がかなり乱れています。

>あとは、辺々加えて
>|f(x)-p|+|g(x)-q|<ε
>と、証明できますが、
流れがおかしいです(A, B がいつの間にかそれぞれ p, q に変っていることも含めて)。
証明すべきことは、| { f(x) + g(x) }-(A + B) |<εです。
だから、左辺は | { f(x) + g(x) }-(A + B) | からスタートしないとお話になりません。

| { f(x) + g(x) }-(A + B) |
= | { f(x)-A } + { g(x)-B } |
≦| f(x)-A | + | g(x)-B |
<(ε/2) + (ε/2) = ε

これで、証明が完成しました。

で、肝心のご質問の件です。
ε-δ論法の基本は理解しているようなので、次のヒントを参考にして、不明点があれば補足してください。

※「lim(x→a) f(x)・g(x) = AB」の証明方針
まず、
| f(x)g(x)-AB | = | f(x)g(x)-f(x)B + f(x)B -AB |
と変形します。

※「B≠0 のとき、lim(x→a) { f(x)/g(x) } = A/B」の証明方針
lim(x→a) { 1/g(x) } = 1/B を証明すれば十分です。
まず、g(x) が分母にあることに注意します。
0<| x-a |<δ を満たす任意の x に対して g(x) ≠ 0 が成り立つ必要があります。
もちろん、δ が満たすべき条件はこれだけではありません。
g(x) ≠ 0 と | { 1/g(x) }-{ 1/B } |<ε が共に成り立つように、工夫して δ を選んでください。
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この回答へのお礼

なんとか理解できそうです!ありがとうございました!

お礼日時:2011/05/08 19:19

ウォームアップとして、まず



lim(x→a) { f(x) + g(x) } = A + B

を証明してみましょう。

それができないようなら、諦めることですね。

この回答への補足

∀ε>0 ∃δ>0 s,t,
∀x, 0<|x-a|<δ₁⇒|f(x)-A|<ε/2
0<|x-a|<δ₂⇒|g(x)-B|<ε/2

δ₁とδ₂のうち小さい方をδとすると、

 0<|x-a|<δ⇒|f(x)-A│<ε/2 かつ |g(x)-B|<ε/2

あとは、辺々加えて
|f(x)-p|+|g(x)-q|<ε
と、証明できますが、これで大丈夫でしょうか?

補足日時:2011/04/25 16:48
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