a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

こうなる意味がわかりません。
宿題の答えは導いたのですが、
別解のここの下りががよくわかんなくて、
ヒントだけでなく詳しく教えてください!


3^2=9
2^3=8
^の右横の数字は指数です。

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A 回答 (4件)

a^3+b^3+c^3^-3abc


=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc
=[(a+b)^3+c^3]-[3ab(a+b)+3abc]
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab]
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-ca-bc-3ab)
=(a+b+C)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
と因数分解できます
(公式にあります)
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a、b、c についての対称式になってるから、そのように扱えばよい。



a+b+c=m、ab+bc+ca=n、abc=k とすると、a、b、c は 方程式:t^3-mt^2+nt-k=0の3つの解。
t^3-mt^2+nt-k=0 → t^3=mt^2-nt+k より、a^3=ma^2-na+k であるから、これは bとc についても同じことが言える。
従って、a^3+b^3+c^3=m(a^2+b^2+c^2)-n(a+b+c)+3k であるから、a^3+b^3+c^3-3k=a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)*(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)。
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まあ個人的な発想を書いてもしょうがないかもしれないけど、書きます。



a^3+b^3+c^3-3abc

で、-abcがちょうど3つあるのが気になる。
そこで、1つずつ、最初の3つの項に付け足す形にする。

(a^3-abc)+(b^3-abc)+(c^3-abc)

少しまとめよう、ということで、

a(a^2-bc)+b(b^2-ac)+c(c^2-ab)

単なる好奇心で、

(a+b+c){(a^2-bc)+(b^2-ca)+(c^2-ab)}-X

の形にしたらXはどうなるんだろう。
これは平方完成っぽい考え方。
好きな形の式を作って、その式に含め過ぎた部分Xを引く。

Xは「交差する積」の部分。

X=a{(b^2-ca)+(c^2-ab)}+b{(c^2-ab)+(a^2-bc)}+c{(a^2-bc)+(b^2-ca)}
 =0。
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逆に展開してみたら?


a^3,b^3,c^3はそのまま残る。a*b^2とb*abがqプラスマイナスで消しあって…残るのは、-abcが3個。展開したらこうなった、だから反対の因数分解もこうなる、というだけ。
x^2-y^2=(x+y)(x-y)となるのも、展開があってのことでしょ?
さらに言えば、18÷3=6も、3×6=18があってこそ。
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