∫0→2π e^x sin^2(x/2)dx 

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A 回答 (4件)

半角公式を使うと


sin^2(x/2) = (1 - cos x)/2.

なので,求める積分は
∫[0,2π] e^x sin^2(x/2) dx
= (1/2)∫[0,2π] e^x (1 - cos x) dx.

ここで,不定積分
I = ∫e^x cos x dx
を求めておく.

部分積分を用いると
I = e^x cos x + ∫e^x sin x dx.

右辺第2項にもう一度部分積分を用いると
I
= e^x cos x + e^x sin x - ∫e^x cos x dx
= e^x (cos x + sin x) - I.

∴I = (1/2)e^x (cos x + sin x) + C. (Cは積分定数)

以上より
∫[0,2π] e^x sin^2(x/2) dx
= (1/2)∫[0,2π] e^x (1 - cos x) dx
= (1/2) [e^x - (1/2)e^x (cos x + sin x)]_(0→2π)
= (1/2) [e^x {1 - (1/2) (cos x + sin x)}]_(0→2π)
= (1/2) {e^(2π) /2 - 1/2}
= (1/4) {e^(2π) - 1}.
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sinθ = { e^(iθ) - e^(-iθ) } / (2i) を使えば、簡単。


e^x sin^2(x/2) = (-1/4)e^((1+i)x) + (1/2)e^x + (-1/4)e^((1-i)x) より、
与式 = (-1/4){ e^(2π(1+i)) - 1 }/(1+i) + (1/2){ e^(2π) - 1 } + (-1/4){ e^(2π(1-i)) - 1 }/(1-i)。
式を整理すると、皆さんと同じ値になる。
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I=∫[0,2π] (e^x)(1/2){1-cos(x)}dx


=(1/2)∫[0,2π](e^x)dx-(1/2)∫[0,2π](e^x)cos(x)dx
=(1/2){e^(2π)-1}-(1/2)I1 …(1)

I1=∫[0,2π](e^x)cos(x)dx=[(e^x)cos(x)] [0,2π]+∫[0,2π](e^x)sin(x)dx
=e^(2π)-1+[(e^x)sin(x)] [0,2π]-∫[0,2π](e^x)cos(x)dx
=e^(2π)-1-I1
I1を左辺に移項
2I1=e^(2π)-1
∴I1=(1/2){e^(2π)-1}

(1)に代入
∴I=(1/2){e^(2π)-1}-(1/4){e^(2π)-1} = (1/4){e^(2π)-1}
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手元の電卓によると


(e^(2π)-1)/4
だってさ.
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