△ABCの辺AB、AC上にそれぞれP,Qを、BP+CQ=PQとなるようにとる。
∠BACの2等分線と△ABCの外接円とのA以外の交点をRとする。∠BAC=α
とするとき、∠PRQをαを用いて表せ。

考えた流れは次のようになります。正誤、アドバイス等お願いします。
CA上にRB=RA’となる点A’をとる。次に、BA上にBD=A’Dとなる点Dをとる。
DA’をA’の方に延長し、ACとの交点をEとする。
このようにすると、BD+CE=DEとなり、∠BRA’=∠A’RD,∠CRE=∠A’RE
であること、また四角形ABRCが内接四角形から、α+∠BRC=180°より
α+2∠DCE=180°、よって、∠DCE=90°-α/2。
従って、∠PRQ=90°-α/2。

自分の作図以外の場合もあると思うが、ここでギブアップ。
よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

> △PSR≡△PBRを考えていますが、解決できていません。


> ∠BPR=∠SPRを示せればと思うのですが、

まあ、必ずしも △PSR≡△PBR, △QSR≡△QCR という形で証明する必要も
ないんですけど、点Sをとった方が図としてわかりやすいかなと思ったもので。

要するに、△PBRと△QCRをくっつけた形が△PQRになることを言えばいいのです。
例えば、ABをBの方向に延長した線上に、BT=CQとなる点Tをとると、
△BTR≡△CQR、また△PTR≡△PQRとなることはすぐ示せるでしょう。
したがって、∠BPR=∠SPRとなります。


> CAではなく、RAでした。

なるほど、わかりました。 他にもいろいろと書き間違ってるように見えますが。

点C, D, A'は、私の書いたSがちょうどAR上に来た時のP, Q, Sに相当しますね。
もちろん、この場合、∠DRE=90°-α/2になります。
でも残念ながら、これでは∠DRE=∠PRQとする根拠がありませんよね。

この回答で、点A'はRB=RA'でありさえすればいいわけなので、別にAR上にとる
必要はないですよね。
直線PRについて点Bと対称な点を点A'として、以下質問者さんの書かれたとおり
点D,Eを定義すると、点DはPに一致し、もちろん∠DRE=90°-α/2ですから、
あとは点EがQに一致することさえ示せれば解答になると思います。
というか、このようにとったA'というのは私の回答のSそのものですけどね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
いろいろ考えましたが、どんな手を使うのかと興味深かった
です。三角形をくっつけると言う手は初めて見ました。
納得です。
自分の解答は不十分なことは、わかるのですが、
回答の後半部分の
「直線PRについて点Bと対称な点を点A'として・・・・
あとは点EがQに一致することさえ示せれば解答になると思います。」
で、それが解消されることがよくわからなかったので、考えてみたい
と思います。

お礼日時:2011/04/27 08:46

質問文の通りだと、図が書けません。


CA上に点A'をとったら、DA'の延長線とACの交点Eなんてありませんよね…
勘違いしてたらすみません。
多分書き間違いなんだと思いますが、どう書き間違えたのか良く分かりません。
この手の問題、お絵かき添付の手書き略図でいいので、付けてくれると
分かりやすいかなと思います。

とりあえず、答自体は ∠PQR=90°-α/2 であってると思います。

線分PQ上にPS=PBとなる点Sをとると、BP+CQ=PQよりQS=QCとなり、
このとき、△PSR≡△PBR, △QSR≡△QCR となります。
 (証明は考えてみてください)
よって、∠PQR=(1/2)∠BRCとなるので、∠BRC=180°-∠BACより
∠PQR=90°-α/2となります。

この回答への補足

△PSR≡△PBRを考えていますが、解決できていません。
∠BPR=∠SPRを示せればと思うのですが、
できていません。ヒントがあればと思います。

補足日時:2011/04/26 09:41
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
すみませんでした。
CAではなく、RAでした。
自分ではこの方法だと不十分であることは
わかるのですが、詰め切れませんでした。

お礼日時:2011/04/26 08:52

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