A⊆B⇔「任意のDに対して、A∪(B∩D)=B∩(A∪D)」を示す問題です。
わからないので解説お願いします(T-T)

A 回答 (3件)

● くわしい証明をお求めでしょうか … 。


  以下において、くわしい証明を私は行なったつもりです。証明の正しさについては自信がありません。まちがっていましたら、ひらにひらにごめんなさい。

● (A ⊆ B)→(A∪(B∩D) = B∩(A∪D)) の証明

  この証明においては、次のふたつを示す必要があると、私は思います。

1) (A ⊆ B)→(A∪(B∩D) ⊆ B∩(A∪D)) の証明
2) (A ⊆ B)→(B∩(A∪D) ⊆ A∪(B∩D)) の証明

  ですが、上記の 2) については、A ⊆ B という仮定が無くても、B∩(A∪D) ⊆ A∪(B∩D) という包含関係は示されます。

★ 1) の証明

  まず、仮定における A ⊆ B について説明します。A ⊆ B であるとは、すなわち A が B の部分集合であるとは、集合 A の任意の要素を x と表わすときに、すなわち x ∈ A であるときに、x ∈ B でもあるということを意味します。

  集合 A∪(B∩D) の任意の要素を改めて x と表わすことにします。すなわち x ∈ A∪(B∩D) であるとします。x ∈ A∪(B∩D) は「 x ∈ A または x ∈ B∩D 」という意味をなします。この x ∈ A∪(B∩D) が x ∈ B∩(A∪D) でもあるということが示されれば、1) の証明は完了します。

 「 x ∈ A または x ∈ B∩D 」である内の x ∈ A である場合は、仮定より x ∈ B でもあります。一方、「 x ∈ A または x ∈ B∩D 」である内の x ∈ B∩D である場合は、すなわち「 x ∈ B かつ x ∈ D 」である場合は x ∈ B でもあります。よって、

  (* 1) x ∈ A∪(B∩D) であるならば x ∈ B でもあります。

  また、「 x ∈ A または x ∈ B∩D 」である内の x ∈ A である場合は x ∈ A∪D でもあります。一方、「 x ∈ A または x ∈ B∩D 」である内の x ∈ B∩D である場合は x ∈ D でもあり、このことにより x ∈ A∪D でもあります。よって、

  (* 2) x ∈ A∪(B∩D) であるならば x ∈ A∪D でもあります。

  上記の (* 1) (* 2) より、「 x ∈ B かつ x ∈ A∪D 」が示されたこととなり、すなわち x ∈ B∩(A∪D) が示されたことになり、1) が証明されます。

★ 2) の証明

  集合 B∩(A∪D) の任意の要素を改めて x と表わすことにします。すなわち x ∈ B∩(A∪D) であるとします。x ∈ B∩(A∪D) は「 x ∈ B かつ x ∈ A∪D 」という意味をなします。この x ∈ B∩(A∩D) が x ∈ A∪(B∩D) でもあるということが示されれば、2) の証明は完了します。

  x ∈ B∩(A∪D) であるならば x ∈ B でもあります。x ∈ B であるならば x ∈ A∪B でもあります。よって、

  (* 3) x ∈ B∩(A∪D) であるならば x ∈ A∪B でもあります。

  一方、

  (* 4) x ∈ B∩(A∪D) であるならば x ∈ A∪D でもあります。

  上記の (* 3) (* 4) より、「 x ∈ A∪B かつ x ∈ A∪D 」が示されたことになり、すなわち x ∈ (A∪B)∩(A∪D) = A∪(B∩D) ( 等号は分配律によるもの ) が示されたことになり、2) が証明されます。

● (A∪(B∩D) = B∩(A∪D))→(A ⊆ B) の証明

  集合 A の要素を改めて x と表わすことにします。すなわち x ∈ A であるとします。この x ∈ A が x ∈ B でもあるということが示されれば、この証明は完了します。

  x ∈ A であるならば x ∈ A∪(B∩D) でもあります。仮定より A∪(B∩D) = B∩(A∪D) でありますから、x ∈ B∩(A∪D) でもあります。x ∈ B∩(A∪D) であるならば x ∈ B でもあります。
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 この問題には、← の証明も必要になりますよね。



 集合 A の任意の要素を x と表わすことにします。すなわち、x ∈ A であるとします。
 x ∈ A であるならば x ∈ A∪(B∩D) でもあります。
 仮定より、A∪(B∩D) = B∩(A∪D) でありますから、x ∈ B∩(A∪D) でもあります。
 x ∈ B∩(A∪D) であるならば、x ∈ B でもあります。
 ゆえに、集合 A の任意の要素である x は 集合 B の要素でもあると言えます。

 まちがっていましたら、ごめんなさい。
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AU(B∩D)=(AUB)∩(AUD)



A⊂B  なのでAUB=B

(AUB)∩(AUD)=B∩(AUD)
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