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点Aの極座標を(2,0)とし、極Oと点Aを結ぶ線文を直径とする円Cの周上の任意の点をQとする。
点Qにおける円Cの接線に極Oから垂線OPを下ろすとき、点Pの軌跡の極方程式を求めよ。
ただし、点Pの偏角θは0≦θ<πとする。

A 回答 (3件)

 すべて極座標系(R,Θ)で考えてみてはいかがでしょうか。



 まず直線OPの方程式は Θ=θ ・・・・(1) です。
 次に直線PQの方程式を求めますと Rcos(Θ-θ)=OP ・・・・(2) となります。(ここでOPは線分OPの長さです。)
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/curve/par …

 直線PQと始線との交点を点Rとしますと、線分CQ,OC,CR,OR の長さが分かりますので △CQR∽△OPR から OP が求められます。
 これを式(2)に代入すると 直線PQの方程式(式(3))が確定します。

 点Pは直線OPと直線PQの交点ですので、式(1),(3)を連立して、R→r, Θ→θ と置き換えれば ANo.1さんと同じ方程式が得られます。
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この回答へのお礼

ありがとうございました
絵を描いて考えたら説明の通りに考えてたら出来ました

お礼日時:2011/04/27 19:05

 #2です。


 よく考えたら点Pの偏角θは与えられていますので直線PQの方程式を考える必要はありません。
 ただ 線分OPの長さを求めればよいだけです。(これは△CQR∽△OPRから求めてください。)
 そうすれば r=OP で点Pの軌跡の極方程式が求められます。

 よろしければ参考にしてください。
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この回答へのお礼

出来ました。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/27 19:07

円C:r=2cosθ(-π/2<θ<π/2) ← 中心(1,0),半径1の円


円C上の接点Qの直交座標を(1+cos(2t),sin(2t))とすると
接線:(x-1)cos(2t)+ysin(2t)=1 …(1)
直線CQ:y=(x-1)tan(2t)
直線OP:y=xtan(2t) …(2)
(1)と(2)の交点(x,y)の軌跡の極方程式は
(1),(2)からパラメータのtを消去すればよい。
極方程式を得るには、x=rcosθ,y=rsinθを代入して交点Pの(x,y)座標を極座標P(r.θ)の関係にすればよい。

計算すると次のPの軌跡の極方程式r=1+cosθが求まる。
r=1+cosθ(0≦θ<π)
となります。
これは0≦θ<πなので参考URLのカージオイド曲線の上半分(a=1の場合)のグラフになります。

参考URL:http://www.wakayama-u.ac.jp/~ysaito/high order.html#カージオイド・リマソン

この回答への補足

極方程式を得るには、x=rcosθ,y=rsinθを代入して交点Pの(x,y)座標を極座標P(r.θ)の関係にすればよい。

計算すると次のPの軌跡の極方程式r=1+cosθが求まる。
r=1+cosθ(0≦θ<π)
と書いているところの途中式を教えていただけないでしょうか?
数学Cも数学3もやったことなかったのですみません。

補足日時:2011/04/26 20:40
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
数学Cも数学3もやったことなかったのですみません。
計算するとのところ採算途中も書いてはいただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

お礼日時:2011/04/26 20:51

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極方程式のグラフの求め方がわかりません。
C:r=asin2θのグラフですが、
x(θ)=rcosθ=asin2θcosθ
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これよりy軸に関して対象であるので、0<=θ<=πで調べると十分である。→何故??
また、x(π-θ)=x(θ),y(π-θ)=-y(θ)であるから、Cのπ/2<=θ<=π,0<=θ<=π/2それぞれに対応する部分はx軸に関して対象である、したがって0<=θ<=π/2で調べると十分である。→何故???
といった具合に範囲の設定が理解できません。
教えてください。

Aベストアンサー

>> #1.補足
> 例えばr=sin2x,r=cos2x,r=sin3x・・・・・等のグラフの形は暗記のほうがよいのでしょうか?

数題の練習問題をやれば大体イメージできるようになるから、丸暗記はしなくてもいいよ。
基本的にはx、yに直して微分して表を書く、っていう方向でOK。

ただ、極座標のままグラフ描いてもいいと思う。
問題の解答としてどうかは置いておいて、だいたいグラフの形状は分かる。

例えば、r=sin2θの場合。0≦θ≦πだけ調べる。

r ' = 2cos2θ
よって、dr/dθ=0 になるのは、θ=π/4, 3π/4 のとき
増減表: (読みづらかったらごめん)
 _______________
 θ | 0 π/4  π/2  3π/4 π
 r'  |  +  0   -     0   +
 r   | 0 増 1 減 0 減 -1 増 0
  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
これで大体の予想がつく。
(r,θ)= (0,0), (1,π/4), (0,π/2), (-1, 3π/4), (0,π)
と主要な点をプロットして、その増減を考えて点を結んでいけば、およその形が分かるよね?

x、yに直したやつで自信がなかったら、こうやって極座標の方で簡単にチェックするといい。
もっと正確に描きたいなら、同心円 r= 1/2, √2/2, √3/2, 1 とかを簡単に描いて、
θ=π/6とかの点もプロットするとより正確に描ける。
(曲線の傾きが具体的に分からないので、あくまでチェック用ね)

あと、極座標のグラフ描画ができるフリーソフトを探してきて、
色々試して遊んでみるっていうのも言うのもいいかも。結構面白いと思うよ。
色々自分で試してみれば極座標の式見ただけでグラフの想像もつくようになるし。

>> #1.補足
> 例えばr=sin2x,r=cos2x,r=sin3x・・・・・等のグラフの形は暗記のほうがよいのでしょうか?

数題の練習問題をやれば大体イメージできるようになるから、丸暗記はしなくてもいいよ。
基本的にはx、yに直して微分して表を書く、っていう方向でOK。

ただ、極座標のままグラフ描いてもいいと思う。
問題の解答としてどうかは置いておいて、だいたいグラフの形状は分かる。

例えば、r=sin2θの場合。0≦θ≦πだけ調べる。

r ' = 2cos2θ
よって、dr/dθ=0 になるのは、θ=π/4, 3π/4 のとき
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