点Aの極座標を(2,0)とし、極Oと点Aを結ぶ線文を直径とする円Cの周上の任意の点をQとする。
点Qにおける円Cの接線に極Oから垂線OPを下ろすとき、点Pの軌跡の極方程式を求めよ。
ただし、点Pの偏角θは0≦θ<πとする。

A 回答 (3件)

 すべて極座標系(R,Θ)で考えてみてはいかがでしょうか。



 まず直線OPの方程式は Θ=θ ・・・・(1) です。
 次に直線PQの方程式を求めますと Rcos(Θ-θ)=OP ・・・・(2) となります。(ここでOPは線分OPの長さです。)
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/curve/par …

 直線PQと始線との交点を点Rとしますと、線分CQ,OC,CR,OR の長さが分かりますので △CQR∽△OPR から OP が求められます。
 これを式(2)に代入すると 直線PQの方程式(式(3))が確定します。

 点Pは直線OPと直線PQの交点ですので、式(1),(3)を連立して、R→r, Θ→θ と置き換えれば ANo.1さんと同じ方程式が得られます。
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この回答へのお礼

ありがとうございました
絵を描いて考えたら説明の通りに考えてたら出来ました

お礼日時:2011/04/27 19:05

 #2です。


 よく考えたら点Pの偏角θは与えられていますので直線PQの方程式を考える必要はありません。
 ただ 線分OPの長さを求めればよいだけです。(これは△CQR∽△OPRから求めてください。)
 そうすれば r=OP で点Pの軌跡の極方程式が求められます。

 よろしければ参考にしてください。
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この回答へのお礼

出来ました。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/27 19:07

円C:r=2cosθ(-π/2<θ<π/2) ← 中心(1,0),半径1の円


円C上の接点Qの直交座標を(1+cos(2t),sin(2t))とすると
接線:(x-1)cos(2t)+ysin(2t)=1 …(1)
直線CQ:y=(x-1)tan(2t)
直線OP:y=xtan(2t) …(2)
(1)と(2)の交点(x,y)の軌跡の極方程式は
(1),(2)からパラメータのtを消去すればよい。
極方程式を得るには、x=rcosθ,y=rsinθを代入して交点Pの(x,y)座標を極座標P(r.θ)の関係にすればよい。

計算すると次のPの軌跡の極方程式r=1+cosθが求まる。
r=1+cosθ(0≦θ<π)
となります。
これは0≦θ<πなので参考URLのカージオイド曲線の上半分(a=1の場合)のグラフになります。

参考URL:http://www.wakayama-u.ac.jp/~ysaito/high order.html#カージオイド・リマソン

この回答への補足

極方程式を得るには、x=rcosθ,y=rsinθを代入して交点Pの(x,y)座標を極座標P(r.θ)の関係にすればよい。

計算すると次のPの軌跡の極方程式r=1+cosθが求まる。
r=1+cosθ(0≦θ<π)
と書いているところの途中式を教えていただけないでしょうか?
数学Cも数学3もやったことなかったのですみません。

補足日時:2011/04/26 20:40
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
数学Cも数学3もやったことなかったのですみません。
計算するとのところ採算途中も書いてはいただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

お礼日時:2011/04/26 20:51

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Q連立一次方程式の解全体にはどんな種類があるのでしょうか?

連立一次方程式の解全体にはどんな種類があるのでしょうか?


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一つ目の
{x =C1 より (x) (C1)
{ y =C2 (y) = (C2)
{ z =C3 (z) (C3) 」

それと後3つあるみたいです。 わかる方いましたらご教授お願いします!

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3元の連立方程式に関する問いが難しければ,まず2元で考えてみましょう。

2つの平面の共通部分は
A.平面(2つの平面が一致しているとき)
B.空集合(2つの平面が平行なとき)
C.直線(それ以外のとき)
ですね。

それでは3つの平面の共通部分はどうなるかと言えば,2つの平面の共通部分ともう一つの平面の共通部分です。
A.2つの平面の共通部分が平面のときからは,
A1.平面
A2.空集合
A3.直線
が出てきて
B.2つの平面の共通部分が空集合のときからは
B1.空集合
だけですね。
C.2つの平面の共通部分が直線のときからは
C1.空集合(直線と平面が平行なとき)
C2.点(それ以外のとき)

結局,
1.平面
2.空集合
3.直線
4.点
になることが分かりました。

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直線の方程式をxy座標で書くと

y=(x-a)tanα (1)

極座標rθ系とxy座標の関係は

x=rcosθ, y=rsinθ (2)

(2)を(1)に代入

rsinθ=(rcosθ-a)tanα

r(sinθ-cosθtanα)=-atanα

両辺にcosαをかけると

r(sinθcosα-cosθsinα)=-asinα

加法定理より

rsin(θ-α)=-asinα

r=-asinα/sin(θ-α)

Q2次方程式の解の種類

2つの2次方程式9x2+6ax+4=0…(1),x2+2ax+3a=0…(2)が次の条件を満たすように定数aの値の範囲を定めよ。
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(2)(1)のみが虚数解をもつ

問題集の解答には
(1)の場合は「D1<0かつD2<0で解きなさい」と書いてあります。
(2)の場合は「D1<0またはD2<0で解きなさい」と書いてあります。
皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか?
皆様のお力をお貸しください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

>皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか?
この「解答」を丸々覚えても、ほとんど意味はないと思います。

いまの問題は、「虚数解をもつ」と「虚数解をもたない=実数解をもつ」の 2つがありますね。
一つずつ、言い換えていくことを考えます。
★(1)少なくとも一方が虚数解をもつ
少なくとも一方ということは、
・(1)だけが虚数解をもつ((2)は実数解をもつ)
・(2)だけが虚数解をもつ((1)は実数解をもつ)
・(1)も(2)も虚数解をもつ

という場合分けができます。

ところが、ここには現れていない組み合わせがありますね。
それは、「(1)も(2)も実数解をもつ」という組み合わせです。
これは「少なくとも一方が虚数解をもつ」ということの否定になっています。

解き方は 2とおりあります。
・一つ目は、上に挙げた 3つの組み合わせを満たす範囲をそれぞれ求めて、
その範囲を足し合わせる方法です。
ただし、一番目と二番目の範囲を足し合わせると、三番目の範囲はそこに含まれることになります。

・もう一つは、「(1)も(2)も実数解を持つ」という範囲を求めて、全体(実数全体)からその範囲を除く方法です。


★(2)(1)のみが虚数解をもつ
これは、
・(1)だけが虚数解をもつ((2)は実数解をもつ)

ということですから、この両方を満たす範囲を素直に求めます。

範囲を求めるところでは、数直線を用いて考えると考えやすいと思います。


と考えると、問題集の解答は間違っていませんか?
D1、D2はおそらく判別式のことだと思いますので、
(1)の場合は、D1< 0 または D2< 0 で解きなさい。
(2)の場合は、D1< 0 かつ D2≧ 0で解きなさい。

ではないでしょうか。

こんばんわ。

>皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか?
この「解答」を丸々覚えても、ほとんど意味はないと思います。

いまの問題は、「虚数解をもつ」と「虚数解をもたない=実数解をもつ」の 2つがありますね。
一つずつ、言い換えていくことを考えます。
★(1)少なくとも一方が虚数解をもつ
少なくとも一方ということは、
・(1)だけが虚数解をもつ((2)は実数解をもつ)
・(2)だけが虚数解をもつ((1)は実数解をもつ)
・(1)も(2)も虚数解をもつ

という場合分けができます。

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この問題がわかりません。できるだけやさしくご教授ください。

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良くある問題なんで、方針だけ。

∠AQP=α、∠OPQ=βとし、Q(x、y)とすると、xとyはベクトルと三角関数を使うと、αとβであらわせる。
もちろん一気にQは求められないから、先ずPをαとβで求めてからだが。

そこで、0<α≦90°、180°≧β≧90°の範囲で、xとyの動きうる領域を定めるだけ。
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Q中学1年数学の方程式文章題の種類

中学数学のプリントつくりをしているのですが、来年の改定に向けて
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例えば当方の地域では啓林館が使われています。
この場合、方程式の文章題は中1数学の場合「代金」「速さ」「過不足」に関する問題
がメインです。「割合」「位の入れかえ」「連続する整数」などは出てきません。
「割合」は啓林館の場合中2から出てきます。
噂では「食塩水に関する問題も復活するのでは」などとも聞きます。

生徒が混乱するので教科書以外のパターンはあまり問題を作りたくないと考えております。
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また東京書籍版の場合はどうなのかも詳しい方がいらっしゃれば投稿お待ちしております。

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問題集に付いている移行措置用の補助教材を見た時に、
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今後はx : 2 = 4 : 3のような比の方程式の解法を中学1年生で習うようになるので、
この比の方程式に対応した文章問題が出るのは自然かもしれません。

Q座標上のある点が、ある3つの座標点で結んだ三角形の領域内にあるか調べる

座標上のある点が、ある3つの座標点で結んだ三角形の領域内にあるか調べる方法。

座標上に3つの点(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)で結ばれた三角形があります。
ある点(px,py)が、この三角形の内側の領域に存在するかどうかを知りたいのですが、
数学のなんという分野で、どういう求め方をするのかがわかりません。
どなたかお力添えいただければ幸いです。
関係ないかもしれませんが、左上を0,0とし、右下はn1,n2の、
Windowsペイントのようなマイナスを考慮しない座標になっています。
線上を内側とするか、外側とするかはどちらでもかまいません。
どなたかお詳しい方、お暇なときにでもご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

点(x2,y2)を視点にして点(x3,y3)の方向を見たとき、点(xp,yp)が右側にあるか、左側にあるか
点(x3,y3)を視点にして点(x1,y1)の方向を見たとき、点(xp,yp)が右側にあるか、左側にあるか
点(x1,y1)を視点にして点(x2,y2)の方向を見たとき、点(xp,yp)が右側にあるか、左側にあるか
この3つの位置する方向がすべて同じなら、点(xp,yp)は3点で結ばれた三角形の内側にあります。

式で表すと、
z1=(x3-x2)(yp-y2)-(y3-y2)(xp-x2)
z2=(x1-x3)(yp-y3)-(y1-y3)(xp-x3)
z3=(x2-x1)(yp-y1)-(y2-y1)(xp-x1)
を計算して(外積の応用)、
z1>0,z2>0,z3>0 または z1<0,z2<0,z3<0 なら三角形の内側
z1=0,z2>0,z3>0 または z1=0,z2<0,z3<0 なら線分(x2,y2)-(x3,y3)上
z1>0,z2=0,z3>0 または z1<0,z2=0,z3<0 なら線分(x3,y3)-(x1,y1)上
z1>0,z2>0,z3=0 または z1<0,z2<0,z3=0 なら線分(x1,y1)-(x2,y2)上
z2=0,z3=0 なら点(x1,y1)上
z1=0,z3=0 なら点(x2,y2)上
z1=0,z2=0 なら点(x3,y3)上
上記以外は三角形の外側

点(x2,y2)を視点にして点(x3,y3)の方向を見たとき、点(xp,yp)が右側にあるか、左側にあるか
点(x3,y3)を視点にして点(x1,y1)の方向を見たとき、点(xp,yp)が右側にあるか、左側にあるか
点(x1,y1)を視点にして点(x2,y2)の方向を見たとき、点(xp,yp)が右側にあるか、左側にあるか
この3つの位置する方向がすべて同じなら、点(xp,yp)は3点で結ばれた三角形の内側にあります。

式で表すと、
z1=(x3-x2)(yp-y2)-(y3-y2)(xp-x2)
z2=(x1-x3)(yp-y3)-(y1-y3)(xp-x3)
z3=(x2-x1)(yp-y1)-(y2-y1)(xp-x1)
を計算して(外積...続きを読む

Q2種類の文字が入った方程式

xはエックスです。

3/x = (3+2)/(x+y)
3(x+y) = 5x

どのように解いていけば、
3(x+y)=5x なるのでしょうか?

解説のご教授おねがいします。

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 右辺の(3+2)が5になるのはわかるニャ?

左辺の1/x、右辺の1/(x+y)をそれぞれ左右に移項しただけニャ。
左辺の1/xを右辺に移項する場合、【両辺にxをかけるから左辺はx/x=1に】右辺にはxをかけることになるニャ。
3/x=5/(x+y)両辺にxをかける
3=5x/(x+y)
右辺の1/(x+y)を左辺に移項する場合、【両辺に(x+y)をかけるから右辺は5x(x+y)/(x+y)=5xに】左辺には(x+y)をかけることになるニャ。
3=5x/(x+y)両辺に(x+y)をかける
3(x+y)=5x

 ちなみに慣れたら【 】は飛ばして良いニャ。また右辺と左辺を同時に計算するニャ。
3/x=(3+2)/(x+y)
3(x+y)=5x

Q数Ⅲ 式と曲線の問題です。中心の極座標(2,π/2)、半径3の円の極方程式を求めよ。よろしくお願

数Ⅲ 式と曲線の問題です。
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xy座標で言えば中心は(0,2),半径3の円、ゆえに

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Q【数学】2次方程式どうしの足算、引算

私が使っている数学の参考書に
「2種類の方程式を足したりひいたりしてできる方程式の解は元の方程式の解であるとは限らない」
という旨の文章が載っているのですが、この文章が載っているということは方程式どうしの足算や引算ができるということですよね?

ですが、2つの2次方程式が足したりひいたりできるという考え方がいまいち理解できません。
たとえば、

2x^2-1=0…(1)

という2次方程式と

x^2-4=0…(2)

という2次方程式があるとします。

この2式は単純に足したりひいたりできるのでしょうか?

「連立方程式は2つの式の文字がどちらも一定であるという前提があって成り立つわけじゃないですか。でもこの場合はxがそれぞれまったく別の数字だから足したりひいたりするのは不可能なのでは」
というのが私の意見なのですが…(この場合は連立方程式とは関係がないのかもしれませんが)

以上が質問の内容です。
長くなってしまいごめんなさい。まとめると

文字が1種類の方程式どうしを単純に足したりひいたりできるのか?

ということです。

本当に初歩的な質問だとは思いますが回答していただけるとうれしいです。

私が使っている数学の参考書に
「2種類の方程式を足したりひいたりしてできる方程式の解は元の方程式の解であるとは限らない」
という旨の文章が載っているのですが、この文章が載っているということは方程式どうしの足算や引算ができるということですよね?

ですが、2つの2次方程式が足したりひいたりできるという考え方がいまいち理解できません。
たとえば、

2x^2-1=0…(1)

という2次方程式と

x^2-4=0…(2)

という2次方程式があるとします。

この2式は単純に足したりひいたりできるのでしょうか?

「連立...続きを読む

Aベストアンサー

連立方程式を加減法で解く際に、2つの式を縦に並べて足し算(または引き算)しますよね?
それが「2つの方程式を足したり引いたりする」ということです。

ですから、文字が1種類の方程式同士を足したり引いたりすることももちろんできます。
ただし、【連立方程式であることが条件】です。
質問者さんの言葉を使うならば、
「2つの式の文字がどちらも一定であるという前提」が成り立っている必要がある、ということです。


(1)と(2)が連立方程式である場合は、「(1)のxも(2)のxも同じ」はずです。
この場合は足したり引いたりすることは可能です。(解があるかどうかは別として)
しかし、(1)と(2)が連立方程式でない場合は、(1)のxと(2)のxは別物ですから、
足したり引いたりすることはできません。

QP(α,2α)、Q(β,β/2)、A(a,a)の△ABCの周の長さの最小値は?

以下の問題なのです。

[問]a>0に於いて
P,Qを夫々y=2x、y=x/2上の点とし、A(a,a)する。この時、△APQの周の長さが最小となる時のP,Qの座標を求めよ。
[解]
AP+AQ+PQの最小値は相加・相乗平均から
AP=AQ=PQの時(正三角形)が最小値をとる。。。

という方針で正しいのでしょうか?

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点Aのy=2x,y=x/2に関して対称な点をA',A"として、直線A'A"とy=2x,y=x/2の交点が点P,Qのとき最小となるのではないでしょうか?
最短距離の問題を思い出してください。
後は分かりますよね?

相加相乗平均についてはご指摘の通りです。
AP・AQ・PQが一定、といった条件があるときに使います。


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