次の不等式を証明せよ。
また、符号が成り立つのはどのようなときか。
(1)|ab+cd|≦√(a^2+c^2)√(b^2+d^2)
(2)√(a+b)^2+(c+d)^2≦√(a^2+c^2)+√(b^2+d^2)

A 回答 (4件)

(a^2+c^2)*(b^2+d^2)≧(ab+cd)^2 を示すには


左辺-右辺=a^2*b^2+b^2*c^2+a^2*d^2+c^2*d^2ーa^2*b^2-c^2*d^2-2abcd=b^2*c^2+a^2*d^2-2abcd=(bc-ad)^2≧0
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この回答へのお礼

なるほど。
ありがとうございました。
(2)も同じようにやればできるんですよね

お礼日時:2011/04/27 20:17

省略しすぎだから。

。。。。。。w

>(2) これも両辺を2乗して差をとると、√(a^2+c^2)√(b^2+d^2)-(ab+cd)≧0を証明する事になるが、それは(1)より明らか。

√(a^2+c^2)√(b^2+d^2)≧(ab+cd)を示すには
(1)ab+cd<0のときは、左辺は常に正から自明。
(2)ab+cd≧0の時は 最初の問題のように、2乗して証明する。

|ab+cd|^2=(ab+cd)^2 となる。常に、|ab+cd|≧0。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
少しわかったようなわからないようなです。
すみませんが、途中式とかは教えていただけませんでしょうがお忙しいのは承知です。
お願いできないでしょうか?

お礼日時:2011/04/26 20:59

この不等式のベースになっている不等式を、シュワルツの不等式と言う。



(1)
0≦|ab+cd|≦√(a^2+c^2)√(b^2+d^2)より両辺を2乗しても同値。
右辺^2-左辺^2=a^2d^2-2abcd+b^2d^2=(ad-bc)^2≧0.等号は、ad-bc=0の時

(2)
これも両辺を2乗して差をとると、√(a^2+c^2)√(b^2+d^2)-(ab+cd)≧0を証明する事になるが、それは(1)より明らか。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
(2)は(1)の2乗をとったものだから
√a^2*√b^2+√b^2*√c^2+√a^2*√d^2+√c^2*√d^2-ab-cd
これを同じようにしたらいいということですか?

お礼日時:2011/04/27 22:09

まずは両辺を二乗してみる?すると両辺に共通の項が出てくるのでそれを消すと簡単な形になるかも。

この回答への補足

それはルートのところを2乗してとったほうがいいですけど絶対値のところの2条したらどうなるかわからないので先に進めません。
すみません

補足日時:2011/04/25 23:11
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