0<Θ<πとする。
x^2-4(cosΘ)x-2(1+√3)sinΘ+4+√3=0が異なるつの実数解をもち、それらがともに負となるようなΘの値の範囲を求めよ。
解答よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

xが異なる2つの実数解を持つ条件から


判別式D>0より
 D/4=(2√3+2)sinθ+4(cosθ)^2-√3-4=(2√3+2)sinθ-4(sinθ)^2-√3
=-(2sinθ-1)(2sinθ-√3)>0
∴1/2<sinθ<√3/2 …(1)
2実数解が共に負の条件から、解と係数の関係より
 2実数解の和=2cosθ<0 …(2) かつ 積=-2(1+√3)sinθ+4+√3>0 …(3)
0<θ<πであるから (2)と(1)から 2π/3<θ<5π/6 …(4)
(4)のθの範囲で(3)は常に成立するから
求めるθの範囲は(4)で良いことになる。
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方程式は、解けないようだ。

それならば。。。。

判別式>0、2解の和<0、2解の積>0 が条件。
あとは、0<θ<πの条件で、三角方程式を解くだけ。実際の計算は、自分でやって。
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異なる二つの実数解を持つ→→判別式>0を使うか、平方完成して頂点のy座標<0とおくといずれの場合もcosΘ、sinΘを含む式になるので、(cosΘ)^2=1-(sinΘ)^2を使ってsinΘだけの式とし、sinΘの二次不等式として解く。



二つの解がいずれも負→→頂点のx座標が負、かつy=x^2-4(cosΘ)x-2(1+√3)sinΘ+4+√3がx=0のとき正の値をとることからcosΘ、sinΘの範囲を求める。
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