∫[0→1]x/(1+x^2)^2 dx
x=tanθを代入して解けという問題です。

この問題が解けないので出来れは途中式込みで教えてください。
お願いします

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A 回答 (5件)

かぶった。

陳謝。
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なぜ、普通に 1 + x^2 = y としない?

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∫[0→1]x/(1+x^2)^2 dx


x=tanθと置いてやるのも良いが、計算が面倒くさい様に思う。

そのまま1+x^2 = tと置いて計算するほうが楽だと思う・・・!
1/2・∫[1→2]{1/t^2}dt
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x=tanθとおくと、 (積分区間)  0→1 が 0→π/4


            
         (被積分関数)  x/(1+x^2)^2
=tanθ/(1+tanθ^2)^2
=tanθ*cosθ^4 (∵1+tanθ^2=1/cosθ^2)
=sinθ*cosθ^3 (∵tanθ=sinθ/cosθ)

(積分文字)   x=tanθを両辺xで微分して
 
                  dx/dθ=1/cosθ^2
∴dx=dθ/cosθ^2   
                       

以上3つの置換から、 ∫[0→π/4] sinθ*cosθ dθ 
           =[sinθ^2/2](0→π/4)
=1/4
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分数の分母の部分、1+x^2=1+tanθ^2になります。

これは良いですね?
更に、1+tanθ^2=1/cosθが成り立つので、それを代入します。
後はxが0→1の時、x=tanθより、θの値の変化を調べ、
同時に、x=tanθより、dx=~と出せば、計算出来ます。

参考までに、
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