定積分の問題です。

∫[0→1]x/(1+x^2)^2 dx
x=tanθを代入して解けという問題です。

この問題が解けないので出来れは途中式込みで教えてください。
お願いします

No.1 回答者： halcyon626 回答日時： 2011/04/26 01:46

分数の分母の部分、1+x^2＝1+tanθ^2になります。

これは良いですね？
更に、1+tanθ^2＝1/cosθが成り立つので、それを代入します。
後はxが0→1の時、x=tanθより、θの値の変化を調べ、
同時に、x=tanθより、dx＝～と出せば、計算出来ます。

参考までに、

No.2 回答者： again1212 回答日時： 2011/04/26 01:52

x=tanθとおくと、　（積分区間）　　0→1　が　0→π/4

　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　（被積分関数）　　x/(1+x^2)^2
=tanθ/(1+tanθ^2)^2
=tanθ*cosθ^4 (∵1+tanθ^2=1/cosθ^2)
=sinθ*cosθ^3 (∵tanθ=sinθ/cosθ)

(積分文字）　　　x=tanθを両辺xで微分して
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　dx/dθ=1/cosθ^2
∴dx=dθ/cosθ^2 　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

以上３つの置換から、　∫[0→π/4] sinθ*cosθ dθ　
　　　　　　　　　　　=[sinθ^2/2](0→π/4)
=1/4

No.3 回答者： Ae610 回答日時： 2011/04/26 01:59

∫[0→1]x/(1+x^2)^2 dx

x=tanθと置いてやるのも良いが、計算が面倒くさい様に思う。

そのまま1+x^2 = tと置いて計算するほうが楽だと思う・・・！
1/2・∫[1→2]{1/t^2}dt

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/26 01:59

なぜ、普通に 1 + x^2 = y としない？

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/26 02:01

かぶった。

陳謝。