実数x、y、zは次の関係式を満たす。
 x+y+z=(1/x)+(1/y)+(1/z)=xy+yz+zx


問題A  x、y、zのうち少なくとも1つは1に等しいことを示しなさい。

問題B  x>0、y>0、Z>0の範囲で、xy+2zの最小値を求めなさい。

A 回答 (5件)

相加平均・相乗平均を使うにしても、他の回答者が考えているようには、簡単にはいかない。


結構、いやらしい問題だ。

問題A

x+y+z=xy+yz+zx=kとすると、条件から、k(xyz-1)=0。
・k=0のとき、x+y+z=xy+yz+zx。常に、絶対不等式:(x+y+z)^2≧3(xy+yz+zx)が成立するが、等号は x=y=zのときだから、つまり、x=y=z=0となり、分母≠0より不適。
・xyz-1=0の時、x、y、zは t^3-kt^2+kt-1=(t-1)*{t^2+(1-k)t+1}=0の3つの解だから、題意のとおり、少なくても1つは1に等しい。


問題B

・x=1の時、(y=1でも同じ) xy+2z=y+2zで、yz=1より、相加平均・相乗平均よりy+2z≧2√2 等号は?
・z=1の時、(xy=1) xy+2z=xy+2=3

2√2>3より 最小値は 3. この時、xy=1、z=1。




 
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/28 17:07

問題A は次のように考えても良い。



x+y+z=(1/x)+(1/y)+(1/z)=xy+yz+zx=k とする。
P=(1-x)*(1-y)*(1-z)=1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz=1ーk+k-xyz=1-xyz
条件式から、k(1-xyz)=0。
(1) k=0の時、0=0/xyz となり不適。
(2) 1-xyz=0の時、P=1-xyz=0だから、x、y、zのうち少なくとも1つは1に等しい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/28 17:07

うっかりミスにつき、訂正。



・x=1の時、(y=1でも同じ) xy+2z=y+2zで、yz=1より、相加平均・相乗平均よりy+2z≧2√2 等号は?
・z=1の時、(xy=1) xy+2z=xy+2=3

2√2<3より 最小値は2√2  この時、(x、y、z)=(1、√2、1/√2)、or、(√2、1、1/√2)。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/28 17:07

問題A 


(1) 分数を通分して、(i)xyz=1 または (ii)x+y+z=xy+yz+zx=0 を求めてください。

(2) (ii)のときに、3次方程式の解と係数の関係から x,y,z を3解とする t の3次方程式立てると、x,y,z の1つだけが実数で他の2つが複素数になり、問題の条件を満たさないことを示してください。
  (3次方程式の判別式が使えるなら、それを使っても構いません。)
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/polynomia …

(3) (i)のときに、x+y+z = xy+yz+zx =a とおいて、x,y,z を3解とする t の3次方程式を立ててください。

(4) (3)で立てた t の3次方程式の左辺をf(t)とおいたとき f(1)=0 となることを示してください。 (3次方程式を因数分解してもOKです。)


問題B 問題Aで求めた xyz を使って、相加相乗平均で求められます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/28 17:08

うん, 数学の問題だね.



で?
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