ミスチルの大名曲の数々が配信決定!! 31日間無料!!【PR】

有理数は無理数によって切断される、そして、その切断する数を無理数という。

つまり、有理数は無理数によって切断されるので連続ではないということは理解できます。

では、無理数の連続性はどのように考えればよいでしょうか?

詳しく説明されているページ等の紹介でもよいです。

よろしくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

n/a 意味」に関するQ&A: N/Aの意味

A 回答 (5件)

そうか, そもそも「有理数は無理数によって切断される」という表現がおかしいんだ. まあもともと「有理数は無理数によって切断される、そして、その切断する数を無理数という」という表現に違和感はあったんだけど (「切断」と「無理数」が循環してる), 「有理数を有理数で切断する」例は簡単に作れるんだ.



あなたがどういう意味で「連続」という言葉を使ってるか知らないけど,
・無理数の集合を「切断」する有理数は存在する
・無理数の極限であるような有理数は存在する
から, 「切断」と「完備」のどちらの意味でも「無理数は連続じゃない」といえる. その他の意味だったら知らん. まず「連続」の定義を示すこと.

この回答への補足

連続の定義は、

数の集合を上の組と下の組の2つに分断するとき、必ずその境界となる数をその集合自身の中に持っているとき、その集合は連続である。

で考えています。

ま、明らかに

有理数集合を切断する無理数があるし、

無理数集合を切断する有理数がある

から、有理数も無理数も連続でないということですね。。。

補足日時:2011/04/27 18:38
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。

参考になりました。

お礼日時:2011/05/02 19:53

> 連続の定義は、


> 数の集合を上の組と下の組の2つに分断するとき、
> 必ずその境界となる数をその集合自身の中に持っているとき、
> その集合は連続である。
> で考えています。

デデキントによる実数論は、有理数の切断によって実数を定義する
ところまではよく知られているが、そのようにして定義された実数に
演算を導入する部分については語られないことが多い。

全ての有理数の集合を上組と下組に分けて、上組の下端も下組の上端も
ともに開端の場合があるから有理数は連続でない…と考えるのと同様に
実数や無理数が連続か否かを語ろうとするのなら、始めに、
切断によって定義された実数の集合上に順序を定義しなくてはならない。
それがなくては、連続不連続以前に「無理数を切断」することができない。

補足に、集合 { (A,B) | A∪B=Q, A∩B=φ, ∀a∈A,∀b∈B,a<b } の元
どうしの大小関係の定義を書いてみよう。まずは、そこから。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

コメントありがとうございます。

お礼日時:2011/05/02 19:54

「連続」という言葉は多義的だが、


「実数は連続」と同じ意味で言っているのなら、
「無理数は連続」ではない。

任意の有理数 A と任意の無理数 B について、
数列 A + B/n の極限を考えてみれば、判る。

解らなければ、「こーシー列」について
検索してみるとよい。
    • good
    • 0

無理数は連続ではないはずです.


素朴に考えて,繋がっていることが連続と言うことで
もう少し丁寧に考えると,実数を数直線で表しこれを切る
(これが切断の素朴な描写)この時,必ず1点が切られる.
別に考えると,数直線上のaでの場合分けを考えたとき,
1) x<a,x≧a
2) x≦a,x>a
のどちらかにしかできないと言う頃が連続と言うことです.
上の例を有理数で切断または場合分けをすると,
0点で切られる.または,1)2)どちらも適用できない
と言うことになるので,無理数はで連続でないと考えられます.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。

参考になりました。

お礼日時:2011/05/02 19:53

「無理数の連続性」とやらが「2つの無理数の間には無理数しかない」ということを意味するなら, それはあり得ない.

この回答への補足

つまり、無理数は連続ではないということですかね?

補足日時:2011/04/27 10:35
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む


人気Q&Aランキング