pを自然数とし、二次方程式x^2-px-1=0の二つの解をα、βとする。
数列{a(n)}をan=α^(n-1)+β^(n-1) (n=1,2,3…)によって定める。

(1)すべての自然数nに対し、a(n+2)=pa(n+1)+a(n)が成り立つことを示せ。
(2)すべての自然数nに対し、a(n)は自然数であることを示せ。
(3)pが奇数であるとき、すべての自然数nに対し、a(n)とa(n+1)の最大公約数は1であることを示せ。


という問題です。
(1)は計算して解けたのですが、(2)(3)をどのように証明したらよいのか分かりません。
教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

こんにちわ。



(2)は、帰納法で示せますよ。
ただし、n= kだけを仮定してもダメですね。

(3)は背理法で。
a(n)と a(n+1)が共通因数:k(k≠ 1)をもつと仮定すると、
a(n+2)も kを因数にもつことが漸化式からわかります。
つまり、すべての nについて、a(n)は kを因数にもつことになります。
ところが、a(1)と a(2)を考えてみると・・・
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この回答へのお礼

ありがとうございました^^
おかげで解答することができました!

お礼日時:2011/04/27 23:46

帰納法でいいんじゃない?

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