級数展開 剰余項 計算(評価)

e^xの巾級数展開について、
剰余項R(n+1)がlim[n→∞]R(n+1) = 0になれば、
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))と表せることは理解できました。

Rの係数?は実際(1/((n+1)!))となるからe^xは巾級数展開可能
であると理解したのですが、e^xの場合lim[n→∞]R(n+1) は具体的に
どのように計算(評価)されるのでしょうか?

また、剰余項に関して、
R(n+1)やR(x^(n+1))などと表記されるようですが、なにか
違いはありますか?
それぞれの表現について教えて頂けないでしょうか?

また、C^ω級は級数展開可能である関数を表す場合に用いられると
理解したのですが、C^ω級は無限級数展開でも有限級数展開
(有限級数展開の例が思いつきませんが・・・)でもどちらでも
使用して良いのでしょうか?

また、C^ω級はテーラー展開の場合(x=0で級数展開できない場合)でも
使用して良いのでしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

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A 回答 (2件)

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6694795.html の続きかな?

第一点:
その「なれば」は、已然形ですよね?

第二点:
剰余項の表示方法は、いろいろありますが…
テイラーによれば、
f(x) = Σ[k=0~n-1] (1/k!){ f^(k)(a) }(x - a)^k + R(n) について、
∃c, |c-a|<|x-a|, R(n) = (1/n!){ f^(n)(c) }(x - a)^n です。

f(x) = e^x, a = 0 のとき、R(n) = (1/n!)(e^c)(x^n) ですから、
任意の実数 M に対して、|x| < M の範囲では |R(n)| < (1/n!)(e^M)(M^n)。
この式より、n→∞ でハサミウチできますね。

第三点:
R(x^(n+1)) は、O(x^(n+1)) の見間違いかと思います。
O( ) は、「ランダウのビッグ・オー」です。
R(n+1) は、n+1 番目の剰余項という意味で添え字を付けているだけです。

第四点:
有限級数というのは、ある添え字の値以降の項が全て 0 であるような
無限級数のことです。特別なことは、何もありません。

第五点:
C^ω級か否かは、各点において判定されることです。
拡張として、ある集合の全ての点においてC^ω級であることを
その集合においてC^ω級とか言ったりもします。

f(x) が x=a を中心としてテイラー展開可能なら、
f は a においてC^ω級であるし、
不可能なら、C^ω級ではない。それだけです。

f(x) が x=a 中心ではテイラー展開可能で、
x=b 中心ではテイラー展開可能でないならば、
a を含み b を含まない区間においては、C^ω級であると言えます。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
理解出来ました。

お礼日時:2011/05/10 18:06

あなたの持ってる教科書には


なんて書いてあるのですか?
すべて普通の教科書なら書いてありそうなことばかりが
質問されてます.

>e^xの巾級数展開について、
>剰余項R(n+1)がlim[n→∞]R(n+1) = 0になれば、

「なれば」ではなく「なるん」です.
これは重要な例ですから
大抵の教科書にでてるはずです.


e^xのTaylor展開の剰余項については
Taylor展開の定理で与えられている一般の剰余項を
e^xに適用すればでてきます.
また,
n次までのTaylor展開の剰余項は
(関数からでてくる部分)x^{n+1}
という形になることもTaylorの定理から分かります.
したがって,x^{n+1}を強調したければ
剰余項をR(x^{n+1)と書くだろうし
x^{n+1}であることは当たり前で次数だけで十分だと考えれば
R(n+1)とかくというだけで
こんなのは単なる表記の問題にすぎません.


C^ωに関して,有限級数が思いつかないって・・・
f(x)=x
は立派な「級数展開」であり,C^ωです.

>また、C^ω級はテーラー展開の場合(x=0で級数展開できない場合)でも
>使用して良いのでしょうか?

きちんと記号の定義を見直しましょう.
級数展開にはきちんと「条件」がついているはずです.
開区間Iでn階微分可能とか,何かが連続だとかときちんと書いてませんか?
ですので,そういうIで考えている場合は
厳密にはC^ω(I)とか書くのです.
実数Rの全ての点で級数展開可能であるなら
C^ω(R)です.
x=0で級数展開できないのであれば
x=0の近傍でC^ωではないのは自明です.

実際はほとんどの場合において,級数展開は
ある特定の一点aの近傍だけで考えることが多いので
aの近傍Iをとって
IでC^ωな関数の集合C^ω(I)を考え
C^ω_a = ∩ C^ω(I) (共通部分はaの全ての近傍Iに関するもの)
なんてものを考えるのですが,
これはおいおいでてくるでしょう(germ(芽)という概念).
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>a,b,c,dをもとめるのは大変である。

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