大学の数学の問題です。

大学の数学の問題です。
よくわからないので教えてください。

問題が分かりづらいと思いますが、よろしくお願いします。

R=M2(R)とする。
RからRへの写像(f: R → R)を

f(a(11成分) b(12成分) c(21成分) d(22成分)) = d(11成分) -c(12成分) -b(21成分) a(22成分)

と定義すると、fは環の同型であることを示せ。

. この質問に補足する.

No.1 回答者： OurSQL 回答日時： 2011/04/27 20:36

同じRを使って

>R=M2(R)とする。

は、ちょっとひどすぎませんか？

この回答への補足

わかりづらくてすみません。

補足日時：2011/04/29 19:29

No.2 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/04/27 20:43

> よくわからないので教えてください。

あなたの質問内容がわからない。
分かるほうがどうかしてると思う。


「R=M2(R)」って何？
右辺のRと左辺のRは同じもの？


「RからRへの写像(f: R → R)を」の中のRたちのうちどれが冒頭の「R=M2(R)」の右辺のRと同じでどれが左辺のRと同じ？


「a(11成分) b(12成分) c(21成分) d(22成分)」って何？
(1,1)成分がa、・・・という意味？


「d(11成分) -c(12成分) -b(21成分) a(22成分)」って何？
これは想像もできない。


「環の同型」とは何のことと理解している？


読む人の立場にたって書いてくれませんか？

この回答への補足

分かりづらくてすみません。

補足日時：2011/04/29 19:29

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/27 23:51

勝手に解釈すると…

　　環 R 上の二次行列環 M2(R) を A と書く。
　　A から A への写像 f を、

　　a　b
　　c　d

　　↓

　　d　-c
　　-b　a

　　と定義すると、f は A の環同型であることを示せ。

ではないかな。

基礎環 R は、ひょっとすると、実数体 R で、
R と R が異なるフォントで書いてあった
というオチなのかもしれない。

この回答への補足

そういうことです。
本当に分かりづらくてすみません。
解答待ってます。

補足日時：2011/04/29 19:28

No.4 回答者： OurSQL 回答日時： 2011/04/29 20:05

この問題は、基本中の基本です。

それを証明できないあなたは、おそらく、

・環の定義を知らないか、少なくとも M2(R) を環と見なせる理由が分かっていない
・環の準同型写像や同型写像の定義を知らない
・全射や単射の定義を知らない
・もしかしたら、行列の積を正しく計算することすらできない

たぶん、詳しい証明を書いても理解できないと思います。