dy/dx=x^2+y^2/xy
の微分方程式をy=uxとおいて求めたんですけど
u+xdu/dx=1+u^2/u-u
=1/u

∫u du=∫1/x dx
u^2/2=log|x|+C
C=u^2/2-log|x|
=y^2/2x^2-log|x|
になったんですがこれであってますか?

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A 回答 (2件)

dy/dx=(x^2+y^2)/xy


dy/dx=(x/y)+(y/x)

y=ux
dy/dx=u+xdu/dx

u+xdu/dx=(1/u)+u

xdu/dx=(1/u)

udu=(1/x)dx

∫udu=∫(1/x)dx+c

(1/2)u^2=ln(x)+c

したがって,一般解は,

(1/2)(y/x)^2=ln(x)+c

y^2=2(ln(x)+c)x^2

y^2=(ln(x^2)+c)x^2

です. c は積分定数です.

検算:

(1/2)y^2=(ln(x)+c)x^2

2(1/2)y(dy/dx)=2x(ln(x)+c)+(1/x)x^2
y(dy/dx)=2x(ln(x)+c)+x

(dy/dx)=(2x((1/2)(y/x)^2)+x)/y

(dy/dx)=((y^2/x)+x)/y

(dy/dx)=(y/x)+(x/y)

となります.したがって,
一般解 (1/2)(y/x)^2=ln(x)+c は正しいです.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/04/27 21:20

>dy/dx=x^2+y^2/xy


これって
dy/dx=(x^2+y^2)/(xy)
=(x/y)+(y/x)
のことですか?

そうなら
>y=uxとおいて

u+xdu/dx=(1/u)+u
xdu/dx=1/u
udu=dx/x

>∫u du=∫1/x dx
>u^2/2=log|x|+C
>C=u^2/2-log|x|
> =y^2/2x^2-log|x|

わざわざC=の形にしなくてもいいですよ。
(u^2)/2=log|x|+C/2
u^2=log(x^2)+C
(ux)^2=(x^2){log(x^2)+C}

∴y^2=(x^2){log(x^2)+C} (Cは任意定数)
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2011/04/27 21:21

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