問1:関数f(x)=ax^2+bxが不等式1≦f(-1)≦2,2≦f(1)≦4を満たすとき次の問いに答えよ。

(1)平面上に点(a,b)の存在する領域を図示せよ。
(2)f(-2)のとりうる値の範囲を求めよ。



問2:方程式x^2-ax+b=0(a,bは実数)の2つのの解α,βが-1≦α≦1,1≦β≦2を満たすときa^2+b^2の最大値、最小値を求めよ。


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A 回答 (3件)



問2は、以下のように解く。

f(x)=x^2-ax+b=0とすると、

条件から、f(2)≧0、f(1)≦0、f(-1)≧0.
よって、b≧2a-4、b≦a-1、b≧-a-1 となるが、これをab平面上に図示すると、3点A(3、2)、B(0、-1)、C(1、-2)で作る三角形の周上および内部‥‥(1)
a^2+b^2=k (k≧0)とすると、これは原点を中心とする半径が√kの円を表す。
従って、点(a、b)が(1)を動くとき、円の半径=√k の最大値・最小値を求めることになる。
 
最大値は、A(3、2)を通るとき。
最小値は、円が、直線ABに接するとき。点と直線との距離の公式を使えば、値はすぐ出る。

実際の計算は、自分でやって。
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>(1)tが実数値をとって変化するとき、放物線y=x^2-tx+t^2が通らない点(x,y)の存在範囲を求め、図示

せよ。

tについての2次方程式が実数解を持たなければ良い。(xとyは定数と考えたら良い)
t^2-tx-y+x^2=0の判別式<0 → 4y<3x^2

>(2)tが任意の実数値をとって変化するとき、直線t^2x+ty+1=0の通りうる点の存在範囲を図示せよ。

今度は、tについての2次方程式が実数解を持てば良い。→ x≠0 で 判別式≧0. 計算は、自分でやって。
但し、x=0の時は、別に考えなければならない。
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2011/04/28 20:15

問1


 (1)f(-1)=a-b なので 1<=a-b<=2 より b<=a-1、b>=a-2
    f(1)=a+bなので 2<=a+b<=4 より b>=-a+2、b<=-a+4
    これらの四つの直線に囲まれた部分かと。
 (2)f(-2)=4aー2b であり、この値をkとすると b=2a-k/2 です。
    これは傾き2、b切片が-k/2の直線です。この直線が(1)で求めた領域と共有点を持ちながら
    上下動するときのb切片の範囲を考えればOKです。

問2
  解と係数の関係からα+β=a、αβ=bなのでa^2+b^2=(α+β)^2+α^2β^2 です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2011/04/28 06:36

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