f(x) =C(定数)を微分すると、f´(x) =0 ですが、
その逆、f´(x) =0 のとき、原始関数f(x) =C(定数)になる。
これを証明するにはどのように証明したらいいのでしょうか。

A 回答 (3件)

 #2さんへ。

あなたの仰る事は、全くその通りなのですが、積分操作を一種の方程式解法と見た場合、質問の趣旨は、いわば解の一意性の証明に相当するものなので、あなたのやり方は厳密には、質問を解決した後でないと使えない方法だと思います。自分は工学系出身なので、普段はこのような事は気にしませんが、ここは数学板だし、質問者様は、そのような事も考えた上での質問だと思います。

 質問は、

  任意のxでf´(x) =0 ⇒ f(x)は定数.

だと思いますが、対偶を取ってみますか(ここまで考えた人なら、当然対偶をとれると信じてます^^)。

  f(x)は定数関数でない ⇒ 任意のxでf´(x) =0というわけではない.

 そりゃそうですよね。fが定数でないなら、その関数値はどこかで変化するわけで、変化する点で微分したら、微分係数は当然0でないはずです(微分可能だとします)。この事実を端的に述べたのが、#1さんの仰る平均値の定理です。

 標準数学では、無限大や無限小の考えにつながる極限をとる微分操作は、どちらかと言うと鬼っ子で、無限大や無限小を用いない有限の言葉で、極限操作を厳密にフォローしようとします。だから戸惑う場面もあるとは思いますが、平均値の定理は上記を、有限区間の言葉で述べただけです。当たり前じゃないですか?^^。

 ただし、平均値の定理を成り立たせる条件については、注意して下さいね。それは定理の冒頭に書いてあるはずだし、いわゆる微積分学が、どの範囲を狙った理論であるかは、そこを読めばけっこう如実にわかります。
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この回答へのお礼

おかげで、何とか解決できました。ありがとうございました。

お礼日時:2011/05/01 22:54

f´(x) =0 のとき


∫[1,t]f '(x)dx=∫[1,t] 0 dx
f(t)-f(1)=0
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2011/05/01 22:55

ふつうは、平均値の定理を用いて証明します。

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この回答へのお礼

ヒントになりました。ありがとうございました。

お礼日時:2011/05/01 22:56

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