問題
2点(0,0,1),(2,2,5)を直径の両端とする球面をS1,2点(-1,0,3),(3,4,1)を直径の両端とする球面をS2とし、S1,S2の交わりの円Cの中心Cの座標と半径を求めよ

解答
S1,S2の中心をそれぞれO1,O2,交わりの円C上の1点をPとする。球の中心は、直角の中点であるから
O1(1,1,3),O2(1,2,2)
S1の半径はr1=√6
S2の半径はr2=3

また、△O1PC,△O2PCは直角三角形である。
円Cの半径をr,CO1=x,CO2=yとするとy+-x=O1O2=√2であり
x^2+y^2=6・・・・(1),y^2+r^2=9・・・・(2)
(2)-(1)から y^2-x^2=3・・・・(3)

y=√2-xのとき,から2-2√2x=3
このとき、x=-1/2√2<0となり不適

y=√2+xのとき,(3)から2+2√2x=3
ゆえに,x=1/2√2で(1)とr>0から
r=√94/4

また、このとき点Cは線分O1O2をx:y=1:5に外分する。
したがって C(5・1-1・1/-1+5,5・1-1・2/-1+5,5・3-1・2/-1+5) すなわち C(1,3/4,13/4)
以上から C(1,3/4,13/4), 半径r=√94/4

という問題なのですが、なぜ点Cは線分O1O2をx:y=1:5に外分しているのかが分かりません。

A 回答 (1件)

x や y の意味を考えながら絵にすれば簡単にわかると思う.

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この回答へのお礼

良く考えれば分かることでした。ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/30 12:08

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Q円に内接する多角形の面積の公式

円に内接する多角形の面積の公式
円に内接する多角形の面積の公式

円に内接する三角形、四角形の面積を求める公式はありますが、(それぞれヘロン、ブラーマグプタの公式)
円に内接する多角形の面積を求める公式はあるのでしょうか。

あるとすれば、その公式の名前、あるいはその公式が載っているURLを教えてください。
ないとすれば、なぜないのか(つくることの不可能性)を知っていれば教えてください。
取り合えず、あるかないかだけでも教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

5角形以上でも各辺の長さが既知なら、外接円は決まると思いますよ。

外接円の半径が決まれば当然面積が決まります。

多角形の各辺の長さをa1,a2,・・・,an、
外接円の半径をr、
各辺に対応する中心角をθ1,θ2,・・・,θnとすると、
θ1+θ2+・・・+θn=2π
sin(θk/2)=(ak/2)/r、cos(θk/2)=√(r^2-(ak/2)^2)/r (k=1,2,・・・,n)
面積Sは、
S=Σ[k=1~n]ak*r*cos(θk/2)/2
=Σ[k=1~n]ak*√(r^2-(ak/2)^2)/2

問題は、rが求められるかどうかですが、
sin(θ1/2+θ2/2+・・・+θn/2)=0
を加法定理で分解し、
sin(θk/2)=(ak/2)/r、cos(θk/2)=√(r^2-(ak/2)^2)/r
を代入して、rに関する方程式にして解けばいいはずです。
でも5角形以上で解けるかどうかは難しいでしょうね。
数値解析で求めるなら可能ですが。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q円の面積について

ひもを使って円を作り、その面積を測るとします

1cmのひもを使って円を作るのと
2cmのひもを使って円を作るのと
・・・

このような形で紐の長さを1cmずつ長くしていくと
円の面積は一定で増えていくんですか

それとも100cm→101cmの紐の場合は

1cm→2cmの紐の時と比べて
面積が多めに増えるんですか

Aベストアンサー

円周は、2×円の半径×円周率
円周の長さをL、円の半径をr、円周率をπと書いて、
L=2πr
→r=L/(2π)

円の面積は、円の半径×円の半径×円周率
円の面積S=r×r×π=L^2/(4π)
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Q(x,y,z)が(0,1,4),(0,2,1),(0,3,2),(0,

(x,y,z)が(0,1,4),(0,2,1),(0,3,2),(0,4,3)のとき、zをx,yで表すことはできますか。
よろしくお願いします。

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#3です。続きです。

24個全部について、zをx,yで表わしたい場合は、#3で求めた式を使って、24個を、
(x0,y,z0(y)),(x1,y,z1(y)),(x2,y,z2(y)),(x3,y,z3(y)),(x4,y,z4(y)),(x5,y,z5(y)) (y=1,2,3,4)
とするとき、
z=z0(y)(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)/{(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)(x0-x4)(x0-x5)}
+z1(y)(x-x0)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)/{(x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)(x1-x5)}
+z2(y)(x-x0)(x-x1)(x-x3)(x-x4)(x-x5)/{(x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)(x2-x4)(x2-x5)}
+z3(y)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x4)(x-x5)/{(x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)(x3-x4)(x3-x5)}
+z4(y)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x5)/{(x4-x0)(x4-x1)(x4-x2)(x4-x3)(x4-x5)}
+z5(y)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)/{(x5-x0)(x5-x1)(x5-x2)(x5-x3)(x5-x4)}

#3です。続きです。

24個全部について、zをx,yで表わしたい場合は、#3で求めた式を使って、24個を、
(x0,y,z0(y)),(x1,y,z1(y)),(x2,y,z2(y)),(x3,y,z3(y)),(x4,y,z4(y)),(x5,y,z5(y)) (y=1,2,3,4)
とするとき、
z=z0(y)(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)/{(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)(x0-x4)(x0-x5)}
+z1(y)(x-x0)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)/{(x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)(x1-x5)}
+z2(y)(x-x0)(x-x1)(x-x3)(x-x4)(x-x5)/{(x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)(x2-x4)(x2-x5)}
+z3(y)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x4)...続きを読む

Q円の面積について

直径80cmの円面積があるとして、円の下から8割の高さの面積を出すにはどうすればよいでしょうか?

Aベストアンサー

計算面倒くさいので他の回答者さんにお任せしますが、たぶん円の8割の高さ(64cm)で真横に線を引いた時の下側の面積という意味だと思いましたので、その内容で回答します。

解き方としては、中心から円周まで40cm(半径)と高さが24cmの直角三角形の面積。
ピタゴラスの定理で上の三角形の1辺の長さを求めて直角三角形の角度を三角関数から算出
高さ64cmのところに引ける中心からの扇形の面積が求められるはずなので、扇形の面積から三角形(×2)の面積を引けば2割の高さの部分の面積が求められるので円の面積から引けば計算終了

Qoを中心とする半径1の球面上にA,B,Cの3点が有り、線分AB,BC,

oを中心とする半径1の球面上にA,B,Cの3点が有り、線分AB,BC,CAの中点を
P,Q,Rとするとき、OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以下である
ことをしめせ。
ヘクトルで考えましたが、行き詰まりました。
OP,OQ,ORの長さがすべて1/2より大きいとして、矛盾を導こうとしました。
ベクトルをもちいて、ベクトルOAとベクトルOBのなす角は120°より大きいとなりました。
同様に、ベクトルOBとベクトルOCのなす角も、ベクトルOCとベクトルOAのなす角も
120°より大きいとなりました。
このあと、矛盾を導き出せません。どのようにすればいいのかよろしくおねがいします。

Aベストアンサー

座標を導入すると, ほぼ瞬殺なんですよ....
O(0, 0, 0), A(0, 0, 1) とします. で, (A が関係する) OP, OR はどちらも長さが 1/2 未満と仮定します. このとき B と C の z座標はどちらも -1/2 より小さくなり, したがってその中点である Q の z座標も -1/2 より小さい.
これだけ.

Q円の面積の重なり

円の面積について質問です。
得意なかた、ぜひ教えて下さい。

円を半径の1/6の距離、移動させます。
元の円と、移動後の円は、どれだけの面積が重なっていますか?

Aベストアンサー

もとの円を
x^2+y^2=r^2...(1)
とします。また中心を(1/6)rずらした円を
(x-r/6)^2+y^2=r^2...(2)
とします。(1),(2)を連立させた式で二円の交点が出ます。容易に判るように(1)-(2)から
x=r/12...(3)
半径の1/6をずらしたことからこれは自明です。重なり部分は交点を通るx=r/12の線に対して線対象の弧で囲まれた部分です。動かす前の円についてのx=r/12からx=rまでの面積の2倍と考えればよいことがわかります。
従って
I=2∫(r^2-x^2)^(1/2)dx...(4)
をだして、これを2倍すればよいと判ります。積分に2がかかっているのはx軸に対して上下の面積を合計するからです。
x=rsinθ...(5)
とすると
dx=rcosθdθ...(6)
であり、x=r/12→rに対してθ=arcsin1/12→arcsin1です。(4)の積分は、
I=2*r^2∫cos^2θdθ...(4)'
となり、cos^2θ=(cosθ+1)/2を使えば
I=r^2[(1/2)sin2θ+θ](θ=arcsin1/12→arcsin1)
=1.4043r^2...(4)''
これを2倍すれば求める面積ですから2.8086r^2となります。元の円の面積3.1416r^2の89.4%となります。

もとの円を
x^2+y^2=r^2...(1)
とします。また中心を(1/6)rずらした円を
(x-r/6)^2+y^2=r^2...(2)
とします。(1),(2)を連立させた式で二円の交点が出ます。容易に判るように(1)-(2)から
x=r/12...(3)
半径の1/6をずらしたことからこれは自明です。重なり部分は交点を通るx=r/12の線に対して線対象の弧で囲まれた部分です。動かす前の円についてのx=r/12からx=rまでの面積の2倍と考えればよいことがわかります。
従って
I=2∫(r^2-x^2)^(1/2)dx...(4)
をだして、これを2倍すればよいと判ります。積分に2...続きを読む

Qばらばらの測定座標(X,Y)の中から、2点を基準軸(0,0)と(0,y)にする方法

大学の実験で10点の座標を簡易工具顕微鏡で測定したのですが、
そのうちの2点を(0,0)と(0,y)にして基準軸にし、
その時の他の点の座標をしりたいと思っています。

例えば、CADのソフトで、全部の座標を入力し、平行移動と回転移動をすると、自動で他の点の座標が測定されるものとか。ただ、CADの使い方知らないし、ソフトもないというレベルです。(ICAD?というのは、あるらしいですが、使えません)

教えてください!

Aベストアンサー

CADなどでするのでしたら、打ち込んだ点すべてと、基準軸をコピーして、普通のおおもとの原点に移動しし(あなたが作った基準の原点と普通の原点を合わせる)、こんどはその全体を回転して、あなたの作った基準軸のx軸とy軸が、おおもとの基準軸と重なるようにすれば、よいと思います。これを、数学的にするには、2次元の座標変換をすればよいのでしょう。

Q円の面積 小学校で、どう教わりましたか?

昭和40年代に小学校へ入学して卒業した世代の者です

小学校で円の面積は次のように教わった記憶があります。

・円を中心から細かく分割する
・半径に添って切って、扇形のギザギザ状態にする
・それを二分割して、ギザギザを合わせてくっつける
・ギザギザを物凄く細かく細かくすると、長方形になる
・長方形の高さは、円の半径
・長方形の底辺は、円周の半分なので、直径×円周率(3.14)÷2
・円を長方形化したので、長方形の面積が円の面積
・長方形の面積は、底辺×高さなので、半径×直径×円周率(3.14)÷2
・直径÷2=半径なので、式を整理すると
※ 円の面積=半径×半径×円周率(3.14)

以上、こんな感じでした

小学生時代は何だかインチキ臭いなぁ(笑)と思いましたが、正確な数学的な円の面積は、高校生になって積分を教わるまで知りませんでしたが…

皆さんは、小学生時代に、どう教わりましたか?
年代も一緒に教えて頂けると幸いです

また、現代はどう教えているのかも別途お願いします

Aベストアンサー

 いわゆる「詰め込み世代」なんですが、円の求積公式自体は「ともかく覚えとけ」でしたね。

 その上で、いろいろ説明があったように記憶しています。以下、算数を超える用語も使います。

1.πr^2は、その円に外接する正方形の面積を考えると4r^2で、4より小さいπが正方形よりどれだけ面積が小さいかを表している。

2.お示しのような長方形への変形。

3.次のような三角形への変形。
 ・円を細かい同心円に分割する(○→◎みたいな感じ)。
 ・円に真上から中心まで、スパッと切り込みを入れる。
 ・切込みから同心円を真っ直ぐに伸ばしていくと三角形ができる(○→◎→△)。
 ・三角形は、底辺2πr、高さrだから、面積は(1/2)×2πr×r=πr^2。

>また、現代はどう教えているのかも別途お願いします

 教科書出版社の一つ、啓林館のサイト(「算数用語集」内のもの)では、以下のように解説しています。

http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/06/page6_15.html

 正方形と円の比較から入って、仰るような円を長方形に変えてみる手法が用いられていますね。

 いわゆる「詰め込み世代」なんですが、円の求積公式自体は「ともかく覚えとけ」でしたね。

 その上で、いろいろ説明があったように記憶しています。以下、算数を超える用語も使います。

1.πr^2は、その円に外接する正方形の面積を考えると4r^2で、4より小さいπが正方形よりどれだけ面積が小さいかを表している。

2.お示しのような長方形への変形。

3.次のような三角形への変形。
 ・円を細かい同心円に分割する(○→◎みたいな感じ)。
 ・円に真上から中心まで、スパッと切り込みを入れる。
 ・切...続きを読む

Q座標平面状にO(0,0)A(1,0)を取る。この平面上の2点P,Qを条

座標平面状にO(0,0)A(1,0)を取る。この平面上の2点P,Qを条件

(a)OP=1、∠AQP≦90°

(b)PQ=1,∠OPQ≧90°

を満たすように動かす。ただし角の大きさは0°から180°までの範囲で測るものとする。

<問>点Qの動く領域を求め、図示せよ。


この問題がわかりません。できるだけやさしくご教授ください。

Aベストアンサー

良くある問題なんで、方針だけ。

∠AQP=α、∠OPQ=βとし、Q(x、y)とすると、xとyはベクトルと三角関数を使うと、αとβであらわせる。
もちろん一気にQは求められないから、先ずPをαとβで求めてからだが。

そこで、0<α≦90°、180°≧β≧90°の範囲で、xとyの動きうる領域を定めるだけ。
それを求めるのは、ちょっと考えるかな。
αとβが同時に動くし、しかも、動く角度の範囲が異なるから。


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