「(y-z)の5乗+(z-x)の5乗+(x-y)の5乗の因数分解しなさい」 この問題の解き方教えてください。 おねがいします。

A 回答 (3件)

f(x,y,z)=(y-z)^5+(z-x)^5+(x-y)^5 …(1)



f(x,y,y)=(y-y)^5+(y-x)^5+(x-y)^5=0 → 因数定理より(y-z)で割り切れる。
f(x,x,z)=(x-z)^5+(z-x)^5+(x-x)^5=0 → 因数定理より(x-y)で割り切れる。
f(x,y,x)=(y-x)^5+(x-x)^5+(x-y)^5=0 → 因数定理より(z-x)で割り切れる。

以上からf(x,y,z)は(x-y)(y-z)(z-x)で割り切れる。
f(x,y,z)はx,y,zについて5次の項だけからなるので、f(x,y,z)を(x-y)(y-z)(z-x)で割った余りはx,y,zの2次の項だけの式になり、
f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)(ax^2+by^2+cz^2+pxy+qyz+rzx)…(2)
と置くことができる。
(1)、(2)は同じ式なので恒等的に等しいことから、展開式の係数比較して係数を求めると
a=b=c=d=5,p=q=r=-5
(2)に代入すると
 f(x,y,z)=5(x-y)(y-z)(z-x)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
という因数分解結果が得られる。
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a=y-z


b=z-x
とおけば、
x-y=-(a+b)
なので、

(y-z)^5+(z-x)^5+(x-y)^5
=a^5+b^5-(a+b)^5
=-5a^4b-10a^3b^2-10a^2b^3-5ab^4
=-5ab(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)
=-5ab{(a+b)(a^2-ab+b^2)+2ab(a+b)}
=-5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)

a,bを元にもどして、

=5(y-z)(z-x)(x-y){(y-z)^2+(y-z)(z-x)+(z-x)^2}
=5(y-z)(z-x)(x-y)(x^2+y^2+z^2-yz-zx-xy)
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x、y、zの交代式だから、パスカルの三角形を使って ばらしてから因数分解という手もあるが、それも面倒そうだ。


それならば。。。。しかし、質問者が高1ならば、この方法は理解できるかな?

y-z=α、z-x=β、x-y=γ とする。α+β+γ=0だから、αβ+βγ+γα=m、αβγ=n とおく。
と、すると、α、β、γ は t^3+mt-n=0の3つの解。
t^3+mt-n=0 → t^3=-mt+n だから、α^3=-mα+n → α^5=-mα^3+nα^2=nα^2-m(-mα+n)=nα^2+m^2α-mn。
これは、βとγについても同じ事がいえる。

従って、α^5+β^5+γ^5=n(α^2+β^2+γ^2)+m^2(α+β+γ)-3mn=n*(0-2m)+m*(0)-3mn=-5mn。
n=αβγ=(y-z)*(z-x)*(x-y)。m=αβ+βγ+γα=実際に計算すると=-(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

以上より、(y-z)^5+(z-x)^5+(x-y)^5=5*(y-z)*(z-x)*(x-y)*(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
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